Тема 15. Центральная предельная теорема.

Основные определения и формулы:

Пусть случайные величины Х₁, Х₂, … Х_n, … – независимы и одинаково распределены, причемM(X_k) =m,D(X_k) =². Тогда имеет местоцентральная предельная теорема(Ц. П. Т.) т.е.

При решении задач используют другую формулировку Ц.П.Т.

Если Х₁, Х₂, … Х_n– независимые, одинаково распределенные СВ, причемM(X_k) =m,D(X_k) =², то их суммаY=X_kпри достаточно большомnимеем приближенно нормальное распределение с параметрамиmnиn. Другими словами:

где (х) – функция Лапласа.

Замечание:Интегральная теорема Лапласа есть частный случай Ц.П.Т.

Решение типовых примеров:

Пример 1.Страховая компания застраховалаnчеловек одного возраста сроком на 1 год. Для этого возраста известна вероятность смерти (в течении ближайшего года) и вероятность травмы: 0,00001 и 0,0001 соответственно. Стоимость страховкиL$, в случае травмы клиенту выплачиваетсяa$, в случае смерти –A$. Найти вероятность того, что компания получит прибыль не менееQ$.

Решение :

Рассмотрим СВ Х_к– выплатык-му клиенту, к=1..n. ее ряд распределения:

Хк	0	а	А
Р	0,99989	0,0001	0,00001

Найдем ее числовые характеристики:

m = M(X) = 0,0001a + 0,00001A;

²=D(X) = 0,0001а²+ 0,00001А²–m².

Т.к. клиенты умирают и травмируются, вообще говоря, независимо один от другого, то случайные величины Х₁, Х₂, … Х_n– независимые и к ним применима Ц.П.Т.

Суммарные выплаты компании клиентам Y=X_kимеют приближенно нормальное распределение с параметрамиmnиn.

Доходы компании формируются из страховых взносов и составляют Ln$.

Разность Ln–Y– это прибыль компании. Найдем (приближенно) вероятность того, что прибыль будет не менееQ$:

Пример 2.Участник лотереи вычеркивает 5 чисел из 36 (5 из которых выигрышные). При совпадении 3-х чисел выигрыш составляет 3$, 4-х – 50$ и 5-ти – 500$. Найти границы практически возможных выплат по лотереи, если в ней участвуютп= 10.000 человек.

Решение :

Обозначим через Х_к– выплатык-му участнику. Возможные значения этой ДСВ: 0, 3, 50 ,500. Соответствующие им вероятности можно найти, используя классическое определение вероятности, например:

Ряд распределения и числовые характеристики ДСВ Х_к:

Хк	0	3	50	500
Р	р0	0,012344	0,000411	0,000003

В силу Ц.П.Т. суммарные выплаты по лотерее Y=X_kимеют приближенно нормальное распределение с параметрами:

mn= 590$,

n= 434,4$.

Применяя к СВ Y“правило 3-х сигма”, получим границы практически возможных выплат:

верхняя граница = 590 + 3*434,4 = 1893$

нижняя граница = 0.

Пример 3.В условии предыдущего примера определить минимальное число участников, при котором лотерея не принесет убытка организаторам, если стоимость одного билета 0,3$.

Решение :

Искомое число можно найти из неравенства:

,

где mинайдены ранее. Имеем

Итак, уже 293 участника обеспечат организаторам отсутствие убытков.

Содержание:

Тема 1. Классическая формула вычисления вероятности.

Тема 2. Геометрическая вероятность.

Тема 3. Теоремы сложения и умножения.

Тема 4. Формулы полной вероятности и Байеса.

Тема 5. Повторение опытов.

Тема 6. Повторение опытов (при большом n)

Тема 7. Дискретная случайная величина.

Тема 8. Непрерывная случайная величина.

Тема 9. Нормальное распределение.

Тема 10. 2-мерная дискретная случайная величина.

Тема 11. 2-мерная непрерывная случайная величина.

Тема 12. Функция от случайной величины.

Тема 13. Функция от двух случайных величин.

Тема 14. Закон больших чисел.

Тема 15. Центральная предельная теорема.

Список рекомендуемой литературы.