статика динамика учебник

Fkx 0: SA T cos30 SB sin45 0;

Fky 0: T sin30 SB cos45 G 0.

Звідси (ураховуючи, що T = G)

	S	B		G sin30	G	;
				cos45
	S	A	G cos30 G				1 sin30	sin45 .
							cos45

Підставляючи числові значення, одержимо SB = -282 H; SA = -146 H.

Знаки мінус указують, що реакції SA та SB направлені протилежно вказаним на рисунку С.9.

1.3.2. Вправи

B	D	A	B
		C
			D
		C
A			P
		P

а)

б)

17

					z
		z	D
						C
x	A	O			B	2
					3

C	O	600
	y
P		300
	x

P

1

450 y

в)

г)

Рисунок С.10

Завдання до рисунка С.10:

а) P = 5 kH, 60 , 45 , С – блок. Визначити зусилля в стрижнях ВС, DС.

б) P = 6 kH, 45 , 60 , D – блок. Визначити зусилля в стрижнях АС, ВС.

в) P = 500 H, 60 , 30 . Визначити зусилля в стрижнях АС, ВС, DС.

г) P = 600 H, 30 , 60 , 60 . Визначити зусилля в стрижнях 1, 2, 3.

1.3.3.Запитання для самоконтролю

1.Як визначається проекція сили на вісь? Як визначається знак проекції?

2.Сформулюйте аксіому паралелограма сил.

3.Чому дорівнює рівнодійна сила розподіленого навантаження?

Через яку точку вона проходить?

18

4.Яка система сил називається збіжною?

5.Чому дорівнює рівнодійна системи збіжних сил? Чому дорівнює її модуль?

6.Сформулюйте векторні та аналітичні умови рівноваги системи збіжних сил.

1.4. Момент сили відносно точки та осі

Під дією сили тверде тіло може поряд з поступальним переміщенням виконувати обертання навколо будь-якої точки чи осі.

Обертальна дія сили характеризується її моментом. 1.4.1. Момент сили відносно точки

Момент сили F відносно певної точки О визначається за формулою (рисунок С.11)

O

r

,

(1.6)

M

F

F

де

r

– радіус-вектор

точки прикладення сили відносно

точки О.

o

M

h

A

r

O

F

Рисунок С.11
Направляють вектор					O в	той бік, звідки поворот,
				M
здійснюваний силою, видно проти ходу годинникової стрілки.
Модуль моменту		O		можна		вирахувати таким чином
	M
(рисунок С.12):

19

F2

h1

F1

O h2

F3

Рисунок С.12

1.Провести лінію дії сили.

2.З точки О опустити перпендикуляр на цю лінію – це буде плече h.

3. Вирахувати момент сили F			відносно точки О за формулою
mO		F h.	(1.7)
	F

Розмірність – [Н м].

4. Вибрати знак моменту таким чином:

mO F1 F1 h1,

mO F2 F2 h2.

O

O

5. Лінія дії сили F3 проходить через точку О, отже плече h3 = 0 і mO F3 0.

Якщо плече сили вирахувати важко, то треба скористатися теоремою Варіньйона про момент рівнодійної.

Теорема Варіньйона для довільної системи збіжних сил:

Момент рівнодійної системи збіжних сил відносно довільної точки дорівнює векторній сумі моментів складових сил відносно цієї самої точки.

20

n	Fk	,
MO R MO			(1.8)

k 1

n

де R Fk.

k1

Уразі плоскої системи збіжних сил матимемо наслідок з теореми Варіньйона:

n	Fk	,
MO R MO			(1.9)

k 1

тобто маємо алгебраїчну суму моментів.

Якщо R Rx Ry ,то

MO		MO		x MO		y .	(1.10)
	R		R		R

1.4.2. Приклад обчислення моментів сил відносно точок

	F	F2
	2
B	A
		F2
	h2	h1
F1
C	h3

Рисунок С.13

21

На прямокутне тіло АВС діють сили F1 та F2 (рисунок С.13).

Обчислити в загальному вигляді моменти цих сил відносно точок А,

В, С.

Розв'язання. Уведемо позначення АВ=а, ВС=b. Опустивши з точок А, В, С перпендикуляри на лінії дії сил F1 та F2 , знайдемо h1=BC=b, h2=AB sin =a sin , h3 – визначити важко. Розкладемо

силу F2 на складові:

F2 F2					F2 , де F2			F2 cos , F2	F2 sin .

Тоді одержимо:

mA F1 F1 h1 F1 b;

mB F1 F1 BC F1 b;

mC F1 0;

mA

F2 0;

(1.11)

mB F2 F2 h2 F2 asin ;

mC F2 F2 h3.

Оскільки плече h3 вирахувати важко, то застосуємо теорему Варіньйона:

mC

F2 mC

F2 mC

F2 F2

BC F2

AB F2bcos F2asin .

22

1.4.3. Вправи

На рисунках показані тіла, на які діють сили F1 та F2 .

Обчислити моменти цих сил відносно точок А, В, С, якщо

F1 = 3 Н, F2 = 5 Н, = 30°, АВ = 3 м, ВС = 4 м, ВК = КС.

B		K		C		F1	A
		F2		F1	F2
	A			C	K		B
		а)				б)
			F2		B
	B	K		C
				K			F1
					F2
				C
		F1					A
	A
		в)				г)
				Рисунок С.14

1.4.4. Момент сили відносно осі Моментом сили відносно осі називається скалярна величина,

яка дорівнює моменту проекції цієї сили на площину,

перпендикулярну до осі, взятому відносно точки перетину осі з площиною.

Момент вважається додатним, якщо сила намагається повернути тіло навколо осі проти руху годинникової стрілки, коли дивитися з боку додатного напряму осі.

23

F Z

Q

P

h

Fxy

(xy)

Рисунок С.15

План

обчислення моменту сили відносно осі z

1.Провести в будь-якому місці площину XY, перпендикулярну до осі Z.

2.Спроектувати силу F на цю площину (знайти величину Fxy).

3.Опустити з точки О (точка перетину осі Z із площиною XY)

перпендикуляр на лінію дії сили Fxy і знайти плече h.

4. Обчислити момент сили F відносно осі Z як добуток Fxy h.

5.Визначити знак моменту.

Випадки, коли момент сили відносно осі дорівнює нулю:

1.Якщо сила паралельна осі (сила P на рисунку С.15)

2.Якщо лінія дії сили перетинає вісь (сила Q на рисунку С.15).

24

1.4.5.Приклад обчислення моментів сил відносно осей координат

Упрямокутному паралелепіпеді дано: АВ = а, ВС = b, DС = d,

F1, F2, F3, , . Обчислити в загальному вигляді моменти цих сил

відносно осей x, y, z.

z

F3y

D

F1

F

3

F3x

F2

C

y

O

F2z

A

F2x

B

x

Рисунок С.16

Розв'язання.

Сили F2 та F3 розкладемо на складові:

F2x	F2 cos ,	F2z	F2	sin ,
F3x	F3 cos ,	F3y	F3	sin .

Тоді, застосовуючи для сил F2 та F3 теорему Варіньйона,

одержимо:

mx F1 0, (F1 Ox); my F1 F1 d;

mz F1 0, (F1 перетинаєOz);

25

mx	F2 mx		F2x mx			F2z 0 F2z		a F2	sin a;
my	F2 my		F2x my				F2z 0 F2z	b F2 sin b;
mz	F2 mz	F2x mz		F2z F2x a 0 F2					cos a;
mx	F3 mx	F3x mx			F3y 0 F3y			d F3	sin d;
my	F3 my		F3x my			F3y F3x d 0 F3			cos d;
mz	F3 mz	F3x mz		F3y F3x a 0 F3 cos a.						(1.12)

1.4.6.Вправи

Упрямокутному паралелепіпеді дано: АВ = а, ВС = b, DС = d, F1, F2,

, , . Обчислити в загальному вигляді моменти цих сил відносно

осей x, y, z.

z

D

			C
x	O	F2	F
			1
		A	B
		y	x

z
		D
C
F1
	F	y
O	2
A	B

а)

б)

Рисунок С.17

1.4.7. Елементи теорії пар сил Парою сил називається система двох однакових за величиною,

паралельних і протилежних за напрямом сил, які прикладені до одного тіла (рисунок С.18).

26