статика динамика учебник

		m(F, F)
A	r	F
F
h		B

Рисунок С.18

Момент пари сил (F, F ) дорівнює:

M BA F

r

F,

(1.13)

а його величина

	(1.14)
M r F sin(r , F) F h,

де h – плече пари сил, тобто найкоротша відстань між лініями дії сил,

що становлять пару.

Знак моменту пари сил визначається як і знак моменту сили.

Система сил, яка утворює пару, не зводиться до рівнодійної. З

цього випливає, що пару сил можна зрівноважити лише парою.

Теорема. Векторна сума моментів складових пари сил відносно довільної точки простору не залежить від вибору цієї точки

йдорівнює вектор-моменту цієї пари сил.

Увипадку плоских систем сил момент пари дорівнює алгебраїчній сумі моментів сил, які утворюють пару, відносно довільної точки на площині.

27

Пари сил називаються еквівалентними, якщо їх вектор-

моменти рівні між собою.

Довільну систему пар сил, що діють на тверде тіло, можна звести до однієї результуючої пари.

1.5. Довільна система сил

Система сил, як завгодно розміщених у просторі, називається довільною.

Лема Пуансо. Будь-яку силу, прикладену до твердого тіла,

можна перенести паралельно самій собі в іншу точку тіла, додаючи при цьому пару сил, момент якої геометрично дорівнює моменту заданої сили відносно нової точки.

Лема Пуансо й теорема Варіньйона дають змогу довільну

систему сил звести до головного вектора R і головного моменту Mo :

n

R Fk ,

k 1
n
Mo Mo (Fk ).	(1.15)

k1

1.5.1.Умови рівноваги довільної системи сил

Довільна система сил перебуває в рівновазі, якщо її головний вектор і головний момент дорівнюють нулю:

R Fk 0,

Mo Mo (Fk ) 0.							(1.16)

28

Аналітичні умови рівноваги просторової довільної системи

сил:

Fkx 0,	Fky 0,	Fkz 0,
				(1.17)
Mkx 0,	Mky 0,	Mkz 0.

Якщо довільна система сил розміщена в площині xOy, то аналітичні умови рівноваги можна записати в трьох формах.

Перша форма (основна):

Fkx 0,

Fky 0,

MkO 0. (1.18)

Точка О вибирається довільно.

Друга форма:

Fkx 0,

MkA 0,

MkB 0, (1.19)

причому вісь х не перпендикулярна до прямої АВ.

Третя форма:

MkA 0,

MkB 0,

MkC 0, (1.20)

причому точки А, В й С не лежать на одній прямій.

29

1.6. Рівновага системи тіл

Складені конструкції можуть складатися з двох і більше тіл,

з’єднаних будь-якими в’язями. Рівновагою системи тіл називають такий стан, за якого кожне з тіл знаходиться в рівновазі.

В’язі, що з’єднують частини будь-якої конструкції,

називаються внутрішніми.

В’язі, що скріплюють конструкцію з тілами, які до неї не входять, називаються зовнішніми.

Статично визначеними називаються задачі, у яких кількість невідомих не перевищує кількості рівнянь рівноваги сил.

Статично невизначеними називають задачі з кількістю невідомих, що перевищують кількість рівнянь рівноваги сил.

1.6.1. План розв’язування задач на визначення реакцій опор складеної конструкції

1.До конструкції треба прикласти всі задані сили.

2.Відкинути уявно зовнішні в’язі й замінити їх реакціями.

3.Установивши, що кількість невідомих реакцій в’язей перевищує кількість рівнянь рівноваги, які можна скласти для одержаної системи сил, конструкцію розчленовують, замінюючи внутрішні в’язі відповідними реакціями.

4.Підрахувавши загальну кількість невідомих величин і кількість усіх рівнянь рівноваги, які можна скласти після розчленовування конструкції, з’ясувати, чи є задача статично визначеною.

5.Якщо задача статично визначена, скласти рівняння рівноваги сил,

прикладених до кожного тіла.

6.Розв’язати одержану систему рівнянь у найбільш зручній послідовності й визначити всі невідомі величини.

7.Зробити перевірку розв’язку.

30

Примітка. Деякі задачі розв’язуються простіше, якщо замість рівнянь рівноваги, прикладених до одного з тіл, скласти рівняння рівноваги сил, прикладених до всієї конструкції. (Реакції внутрішніх в’язей не враховувати).

1.6.2.Запитання для самоконтролю

1.Сформулюйте визначення вектор-моменту сили відносно центра.

Де він прикладений? Як і в який бік він направлений?

2.Як визначається модуль моменту сили відносно центра? Що називається плечем сили?

3.Що називається парою сил? Як направлений вектор-момент пари сил? Чому він дорівнює за модулем?

4.Які дії можна виконувати з парою сил, не змінюючи її дії на тіло?

5.Що називається моментом сили відносно осі? За яких умов він дорівнює нулю?

6.Запишіть три форми аналітичних рівнянь рівноваги довільної плоскої системи тіл.

7.Запишіть умови рівноваги довільної просторової системи сил в аналітичній формі.

31

1.7. Тертя

Залежно від взаємних рухів тертя між твердими тілами буває трьох видів:

а) тертя ковзання або тертя першого роду;

б) тертя кочення або тертя другого роду;

в) тертя крутіння або тертя третього роду.

1.7.1. Тертя ковзання Сила тертя ковзання виникає у площині зіткнення тіл під час

прагнення зрушити одне тіло по поверхні іншого.

В інженерних розрахунках використовуються закони тертя ковзання в стані спокою (закони Кулона):

1.Сила тертя ковзання залежить від матеріалу та фізичного стану поверхонь тертьових тіл.

2.Величина сили тертя ковзання збільшується від нуля до величини Fгр , яка називається граничною силою тертя.

Сила тертя спрямована в бік, протилежний тому, куди сили, що діють, прагнуть зрушити тіло.

3. Гранична величина сили статичного тертя ковзання пропорційна силі нормального тиску поверхонь тіл, між якими вона виникає:

Fгр f N ,

(1.21)

де f – коефіцієнт пропорційності, який називається коефіцієнтом статичного тертя ковзання.

4.Гранична величина сили статичного тертя ковзання не залежить від розмірів стичних під час тертя поверхонь.

5.Сила тертя спокою завжди більша, ніж сила тертя руху.

32

Fтер

Під час руху сила тертя спрямована в бік, протилежний руху, і

має місце співвідношення

Fгр f N ,

(1.22)

де f – коефіцієнт тертя руху, причому

f f .

(1.23)

Реакція шорсткого зв’язку

має дві складові: нормальну

R

реакцію

і перпендикулярну

до неї

N

R

N

силу

тертя

Fтер (рисунок

С.19).

Найбільший кут , який повна реакція шорсткого зв’язку утворює з нормаллю

F до поверхні, називається кутом тертя,

причому

Рисунок С.19

	tg	Fтер	f .	(1.24)
		N

За умов рівноваги – повна реакція R , залежно від зсувних сил,

може проходити де завгодно в середині кута тертя.

1.7.2. Тертя кочення Тертям кочення називається опір, що виникає під час кочення

одного тіла по поверхні іншого, унаслідок деформації тіл.

Нормальна реакція площини N зміщена в бік руху на відстань

. Лінійна величина називається коефіцієнтом тертя кочення.

Вимірюють величину в сантиметрах.

33

У стані граничної рівноваги застосуємо умови рівноваги сил на площині (рисунок С.20):

y

Fkx 0, Sгр Fтер 0;

N S

С

Fky 0,

N P 0; (1.25)

O x

Fтер

P

Рисунок С.20

N P; Sгр Fтер r N .

mO (Fk ) 0, Sгр r N 0,

де r – радіус котка.

З цих рівнянь матимемо:

(1.26)

Поки S Sгр коток знаходиться в спокої, при S Sгр

починається кочення. Сила S може набувати значень, що задовольняють нерівність:

		N S f N .	(1.27)
	r

У цьому випадку коток котиться по площині без ковзання.

1.7.3. Тертя крутіння Якщо обертати шар, котрий лежить на горизонтальній

площині, то виникне опір крутінню, який називається тертям крутіння.

Шар обертатиметься, якщо обертальний момент буде більшим деякої граничної величини Mгр , визначуваної рівністю

34

Mгр	N ,	(1.28)
де N –	сила нормального тиску шару на площину;	–
коефіцієнт тертя крутіння, що має розмірність довжини.

1.7.4. Вправи

1. Однорідна балка АВ кінцем А спирається на негладеньку горизонтальну підлогу, а кінцем В – на негладеньку площину,

нахилену під кутом 60 до горизонту. Коефіцієнти тертя балки об

підлогу й похилу площину однакові й дорівнюють 0,41. Визначити найменший кут між балкою АВ й горизонтом за її рівноваги.

2. На негладенькій площині, нахиленій під кутом до

горизонту, лежить тіло А, вага якого Р. Коефіцієнт статичного тертя

В

цього

тіла

об

похилу площину

дорівнює

f .

До

тіла

прикріплено

А

нитку, перекинуту через блок В. До

Q

кінця

нитки

прив’язано вантаж.

Визначити,

у яких

межах може

Q

змінюватись

вага

вантажу за

равноваги тіла А. Тертям у блоці, вагою блока й нитки знехтувати.

	3. Вага кожного з повзунів А й В дорівнює 5Н, вага кожного
	Д	однорідного стрижня (АД = ВД) дорівнює
		20Н. Коефіцієнт тертя між повзуном і

площиною f 0,4. Визначити найбільший кут за рівноваги системи.

АВ

35

4. Запишіть умови, які потрібно накласти на величину сили Q,

					щоб коток котився без ковзання, якщо:
					f 0,2; 0,2см; r 0,2м; P 100H .
		N
				Q

С

P

1.7.5.Запитання для самоконтролю

1.Сформулюйте основні закони тертя ковзання (закони

Кулона).

2.Що називається кутом тертя? Як пов’язаний кут тертя з коефіцієнтом тертя?

3.Поясніть причини виникнення опору коченню одного тіла по поверхні іншого.

4.Що являє собою коефіцієнт тертя кочення?

36