статика динамика учебник

Якщо механічна система має S степенів вільності, то її положення буде визначатися S узагальненими координатами

q1,q2, ,qS. (3.53)

Похідні від узагальнених координат за часом називаються узагальненими швидкостями й позначаються

			,	(3.54)
q1	,q2	, ,qS

де q1 dq1 і т.д. dt

Узагальненою силою Qj , що відповідає узагальненій координаті qj , називається скалярна величина, яка визначається відношенням елементарної роботи всіх сил системи на можливих переміщеннях, викликаних приростом цієї узагальненої координати,

до величини приросту цієї координати:

	Q			A	,	(j		).	(3.55)
		j					1,S
			qj

Кінетична енергія механічної системи може бути знайдена як функція узагальнених координат qj , узагальнених швидкостей qj і

часу t:

		,t .	(3.56)
T T q1, ,qS ;q1	, ,qS

Диференціальні рівняння руху механічної системи в узагальнених координатах називаються рівняннями Лагранжа ІІ роду й мають вигляд:

143

d		T			T
						Qj ,	(j 1,S).			(3.57)
dt
		qj			qj

Кількість цих рівнянь, як бачимо, дорівнює числу степенів вільності цієї системи.

Розв'язуючи задачі динаміки з допомогою рівнянь Лагранжа ІІ роду, рекомендується дотримуватися такої послідовності:

а) обчислити число степенів вільності механічної системи;

б) вибрати узагальнені координати системи згідно з числом степенів вільності системи;

в) визначити кінетичну енергію системи як функцію узагальнених координат;

г) знайти необхідні похідні від кінетичної енергії;

ґ) обчислити узагальнені сили системи відповідно до вибраних узагальнених координат;

д) записати систему рівнянь Лагранжа ІІ роду;

е) знайти шукані величини.

3.3.12.Вправи

1.Однорідний коток вагою Р котиться по горизонтальній площині без ковзання під дією сили F , прикладеної до точки В на

Fневагомій нитці ВС. Під час руху нитка

Вутворює кут з горизонтом:

С			а) обчисліть число степенів вільності
			цієї системи;
б) вибравши			узагальнену координату, запишіть кінетичну

енергію котка;

в) задайте можливе переміщення й вирахуйте роботу на цьому переміщенні;

144

	г) Визначте узагальнену силу.
	2. Механічна система складається з трьох вантажів, пов’язаних
1		ниткою,		перекину-
		тою через два неру-
		хомі та один рухо-
		мий	блоки.		Маси
		вантажів 1 і 2 дорів-
	2	нюють m, маса ван-
		тажу 3		дорівнює m1,

	3	масою блоків знехту-
		вати. Коефіцієнт ков-
	зання вантажу 1 об горизонтальну площину дорівнює f :
	а) обчисліть число степенів вільності цієї системи;
	б) виберіть узагальнені координати;
	в) вирахуйте кінетичну енергію системи;
	г) вирахуйте узагальнені сили, що відповідають кожній
	узагальненій координаті;
	ґ) за яких умов вантаж 3 буде рухатися вниз, якщо початкові
	швидкості всіх вантажів дорівнювали нулю?
	д) знайдіть прискорення вантажу 3, використовуючи рівняння
	Лагранжа ІІ роду.

3.3.13.Запитання для самоконтролю

1.Як пов’язана кількість узагальнених координат з числом степенів вільності?

2.Що таке узагальнена сила? Як вона визначається для системи

зодним степенем вільності, із двома степенями вільності?

3.Яку розмірність має узагальнена сила, якщо за узагальнену координату взято деякий кут?

145