matametika_bevz_standart_1 / matametika_bevz_standart

2 Ðîçäië

Міра кута АОВ дорівнює одному радіану (1 рад), якщо на колі із центром у вершині цього кута він вирізає дугу АВ, довжина якої дорівнює довжині радіуса кола (мал. 57); 1 рад ≈ 57°. Оскільки коло радіуса r має довжину 2πr, то 360° = 2π рад. Звідси маємо:

Мал. 57	180° = πрад,	90° =			рад,	60° =			рад,
	45° =		рад, 30° =				рад.

Градусна і радіанна міри кутів пов’язані такими залежностями:

1° = радіанів, n° радіанів.

Відповідність між деякими радіанними мірами кутів бажано пам’ятати:

π

30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300°

Використовуючи формулу 1 рад =						можна встановити

відповідність між множиною дійсних чисел і множиною кутів повороту. А оскільки кожному значенню деякого кута α відповідає єдине значення sinα (соsα, tgα, ctgα), то можна розглядати тригонометричні функції не лише кутового аргументу, а й числового.

Нехай на координатній площині дано одиничне коло і його початковий радіус ОР (мал. 58, а). Кажуть, що точка А одиничного кола відповідає числу α, якщо кут РОА дорівнює α радіанів. При цьому вважають, що кут α збільшується, якщо радіус ОА рухається проти руху годинникової стрілки; кут α може бути як завгодно великим і як завгодно малим. Зображені на малюнку 58, а точки Р, K, В, С відповідають числам 0,

, π, .

Синусом числа α називається ордината точки одиничного кола, яка відповідає числу α. Косинусом числа α називається абсциса точки одиничного кола, яка відповідає числу α (мал. 58, б).

92

ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТУ §11

а)

б)

Мал. 58

Синус і косинус числа α позначають відповідно: sіn α і соs α. Зі зміною числа α змінюються також і значення sіn α та соs α. Тому можна говорити про функції, задані рівностями у = sіnх і у = соsх.

Розглянемо деякі властивості цих функцій.

Кожному дійсному числу х відповідає єдина точка одиничного кола, а їй – якась певна ордината й абсциса. Тому область визначення кожної із функцій у = sіnх і у = соsх – уся множина R дійсних чисел.

Оскільки sіnх – ордината, а соsх – абсциса деякої точки одиничного кола (його радіус дорівнює 1), то –1 sіn х 1 i

–1 соsх 1.
Якщо значення аргументу х збільшувати від –				до				, то sіnх
збільшується від –1 до 1. При збільшенні х від		до					значення

sіn х зменшується від 1 до –1. При подальшому збільшенні х усе повторюється. Як змінюється значення соs х зі збільшенням х, дослідіть самостійно.

Оскільки числу 2π відповідає повний оберт точки одиничного кола, то числам х, х + 2π, х + 4π, ..., х + 2nπ, де n – ціле число, на одиничному колі відповідає одна й та сама точка. Синуси всіх цих чисел рівні. Тому для кожного цілого значення n:

sіn(х + 2nπ) = sіnх.

Так само

cos(х + 2nπ) = cosх.

Відношення синуса числа до косинуса того самого числа називають тангенсом цього числа, а обернене відношення – його

котангенсом:

93

2 Ðîçäië

Оскільки на 0 ділити не можна, то tg α існує (має числове значення), коли соsα ≠ 0, а ctgα існує, коли sіnα ≠ 0. Зі зміною числа α значення tgα і ctgα теж змінюються, тому tgх і ctgх також функції від аргументу х. Функції sіnх, cosх, tgх і ctgх називають тригонометричними функціями числового аргументу. Точні значення цих функцій при деяких значеннях аргументу

(0,	,	,	,	і т. п.) можна визначати, користуючись одиничним
колом. Вони наведені в таблиці.
			0						π
sin			0		1				0
соs			1		0	–	–	–	–1
tg			0	1	не	–	–1	–	0
					існує
сtg			не	1	0	–	–1	–	не
		існує							існує

Наближені значення тригонометричних функцій можна знаходити, користуючися спеціальними таблицями або мікрокалькулятором. При цьому якщо значення аргументу х задано в градусах, то перемикач Г–Р ставлять на позначку Г, якщо х – абстрактне число або кут у радіанах, – на позначку Р. Наприклад, значення sіn 1,2 знаходять за такою програмою: 1,2 Fsin ; результат 0,932039, тобто sіn1,2 ≈ 0,932039.

Вважають, що синус, косинус, тангенс, котангенс числа дорівнюють відповідно синусу, косинусу, тангенсу, котангенсу кута радіанів. Отже, кожне твердження про тригонометричні функції числа α рівнозначне твердженню про тригонометричні функції кута α радіанів і навпаки. Зокрема, правильні формули

соs(–α) = соsα,	sіn(–α) = –sіnα,
tg(–α) = –tgα,	ctg(–α) = –ctgα.

Оскільки область визначення кожної тригонометричної функції симетрична відносно початку координат, то це означає, що функція у = соs х – парна, а функції у = sіn х, у = tg х, у = сtgх – непарні.

Знаки sin α і соs α такі, як і знаки координат точок одиничного кола, що відповідають куту α (див. мал. 53).

Символи sinα, соsα, tgα, ctgα ввів у математику Л. Ейлер.

94

ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТУ §11

ЛЕОНАРД ЕЙЛЕР (1707–1783)

Один з найвизначніших математиків світу. Швейцарець, багато років працював у Росії. У 16 років склав екзамен на ступінь магістра мистецтв. Написав понад 800 теоретичних праць з математики, фізики, астрономії, навігації, філософії, музики – близько 80 томів.

Увів сучасні позначення π, е, і, f(х), sіn, соs, tg, ctg та ін. Його ім’ям названо десятки найважливіших теорем, формул, функцій, рівнянь, інтегралів та ін.

«Немає науки, не зв’язаної з математикою».

Л. Ейлер

«Ейлер повів за собою наступні покоління...»

М.В. Остроградський

ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ

1.Що таке радіан? Скільки радіанів має прямий кут?

2.Що таке синус, косинус, тангенс і котангенс числа? Як вони позначаються?

3.Які знаки мають тригонометричні функції в різних чвертях?

4.Запишіть область визначення кожної з тригонометричних функцій.

1. Користуючись одиничним колом, знайдіть значення три? гонометричних функцій чисел: 0, , π, , 2π.

Р о з в ’ я з а н н я. Даним числам на одиничному колі відповідають точки: P, K, B, C, P (див. мал. 58, а). Їх абсциси дорівнюють відповідно: 1, 0, –1, 0, 1. Отже,

cos0 = 1, cos = 0, cosπ = –1, cos = 0, cos2π = 1.

Ординати вказаних точок дорівнюють: 0, 1, 0, –1, 0. Отже,

sin0 = 0, sin

= 1,

sinπ = 0, sin

= –1, sin2π = 0;

tg0 =

= 0, tg

=

– не існує, tgπ =

= 0 і т. д.

2. Чи правильно, що при будь?якому цілому n і дійсному α: a) tg(2nπ + α) = tgα; б) ctg(2nπ + α) = ctgα?

95

2 Ðîçäië

Р о з в ’ я з а н н я. Якщо n – число ціле, то числам α і 2nπ + α на одиничному колі відповідає одна й та сама точка (мал. 59). Тому кожна з наведених рівностей правильна.

3. Обчисліть

Р о з в ’ я з а н н я. Відповідні значен-

ня синуса і косинуса знаходимо у таб-

Мал. 59

лиці (с. 94). Маємо:

426.Назвіть у радіанах міри кутів: а) квадрата; б) рівностороннього трикутника; в) прямокутного рівнобедреного трикутника; г) правильного шестикутника.

427.Назвіть у градусах кут, радіанна міра якого дорівнює:

428.Які із чисел від’ємні: sin2, sin4, sin5, соs2, соs3, соs6? Відповідь аргументуйте.

429.Для яких значень х виконується рівність:

а) sinx = 0; б) sinx = 1; в) sinx = –1; г) соsx = –1?

430.Чи існують такі значення х, для яких соsх = 2,5? А tgх =

=2,5?

À

Запишіть у радіанній мірі кути (431, 432).

431.а) 15°; б) 30°; в) 45°; г) 60°; ґ) 90°; д) 135°; е) 180°; є) 270°.

432.а) 40°; б) 120°; в) 105°; г) 150°; ґ) 75°; д) 32°; е) 100°; є) 140°.

Виразіть у градусах кут, радіанна міра якого дорівнює даному числу (433, 434).

433. а)

; б)

; в) ; г) ; ґ)

; д) 2π.

434.а) 2; б) 3; в) 1,5; г) 0,36; ґ) 5; д) 31,4.

435.Накресліть одиничне коло і позначте на ньому точки, які (наближено) відповідають числам: 1, 2, 3, 4, –1, –2.

436.Позначте на одиничному колі точки, які відповідають

числам: π, , , , , 2π, 3π, 4π, –π, –2π, –3π.

96

ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТУ §11

437. Заповніть таблицю:

α	0,5π	π	1,5π	2π	2,5π	3π	3,5π

sіnα

соsα

tgα

438.Покажіть за допомогою малюнків кути: а) 420°; 540°; 670°; 730°; 890°;

б)

;

;

;

;

.

439. Які знаки мають sіnα, соsα, tgα, якщо α дорівнює:

440.

а)

;

б) 1,2π;

в)

π;

г)

π; ґ)

π?

Визначте знак виразу:

а) sіn2 соs3;

б) sіn4 tg5;

в) соs

соsπ;

г) tg

соs2π.

441.

Збільшується чи зменшується значення sіnх при збіль?

шенні числа х від 0 до

? А при збільшенні х від

до π?

442.Збільшується чи зменшується значення соsх при збільшенні числа х від 0 до 2? А при збільшенні х від 2 до π?

443.Збільшується чи зменшується значення tgх при збіль?

шенні числа х від 0 до ? А при збільшенні х від – до 0?

444.Обчисліть за допомогою калькулятора: а) sіn1,5; б) sіn2,7; в) соs0,8; г) tg1,5.

Обчисліть (445–447).

445.

446.	а) sіn2,5π; б) соs3π; в)																	г)
447.

97

2Ðîçäië

448.Знайдіть значення виразу:

а) sіnх соsх, якщо x = ; б) sіnх + соsх, якщо x = .

Á

449.	Що більше: а) sin1° чи sin3°;		б) sin1 чи sin3?
450.	Які з чисел ;	; ; ; ; ;	; :
	а) менші за 1;	б) більші за 2?

451.Які з чисел sin2; соs2; tg2; sin3; соs3 від’ємні?

452.Розмістіть у порядку зростання числа:

sin0; соs0; sin1; сos 1; sin2; соs2; sin3; соs3.

453.Який знак має:

sin3; sin3,1; sin3,5; sin7,2; sin(–2); соs7?

454.Обчисліть за допомогою мікрокалькулятора (з точністю до тисячних):

sin2; tg0,5; соs0,5; sin3,14; sinπ; sin		; tg	.

455.Знайдіть значення виразу (з точністю до тисячних):

а) sinα + соsα, якщо α = 2; α = 0,3; α = ; б) 2 sinα соsα, якщо α = 1; α = 2,7; α = 13;

в) 1 + tg2 α, якщо α = 0,7; α = 12,5; α = . Обчисліть значення виразу (456–458).

456.

457.

458.

в) sin2,5π + соs2,5π;

г) tg4π + sin3π.

459. Швидкість одного літака на 100 км/год більша від швидкості другого. Тому перший долає відстань 980 км на 0,4 год довше, ніж другий – відстань 600 км. Знайдіть швидкості літаків.

98

Мал. 60

ОСНОВНІ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФОРМУЛИ §12

460.Розв’яжіть нерівність:

а) 5(х + 2) – 2(х –3) < 3(x – 1) – 4(х + 3);

б) 3(2x – 1) – 3(х – 1) 5(х + 2) + 2(2x – 3).

461.Кидають два гральних кубики. Яка ймовірність того, що на них випадуть очки, сума яких дорівнює: а) 5; б) 6; в) 7?

§12. Основні тригонометричні формули

Відомо багато тотожностей, які по- в’язують різні тригонометричні функ-

ції. Розглянемо найважливіші з них. Співвідношення між тригономет-

ричними функціями о д н о г о а р г у - м е н т у. Пригадаємо рівняння кола. Якщо х і у – абсциса й ордината якої?небудь точки одиничного кола,

то х2 + у2 = 1 (мал. 60), соs α і sin α –

абсциса й ордината деякої точки одиничного кола (мал. 58). Тому, яке не

було б дійсне число α, завжди соs2 α +

+ sin2 α = 1. Це – основна тригонометрична тотожність. Приєднавши до неї ще формули, які випливають з означення тангенса і котангенса, дістанемо такі тотожності (за умови, що tgα i ctgα – існують):

sin2 α + соs2 α = 1;			(1)
			(2)

(3)

(4)

(5)

(6) Формули (4) і (5) можна довести так:

99

2 Ðîçäië

Формула (6) доводиться аналогічно.

Користуючися цими формулами, можна числове значення будь?якої тригонометричної функції виразити через значення іншої тригонометричної функції такого самого аргументу. Але при цьому треба враховувати, якій чверті належить цей аргумент. Наприклад:

1. Знайдіть соsα і tgα, якщо sinα = 0,6 і < α < π .

Р о з в ’ я з а н н я. Якщо < α < π, то соsα < 0. Оскільки sinα =

= 0,6 і соs2 α + sin2 α = 1, то соsα =
Тоді
2. Знайдіть sinα, соsα і сtgα, якщо
Р о з в ’ я з а н н я. Відомо, що	і α – кут третьої
чверті, тому:

ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ

1.Сформулюйте основну тригонометричну тотожність. Доведіть її.

2.Які формули пов’язують синус, косинус і тангенс або котангенс того самого числа?

3.Як пов’язані тангенс і котангенс того самого числа?

4.Чи правильно, що тангенс і котангенс того самого числа – числа одного знака?

1. Чи правильно, що при будь?якому значенні х:

Р о з в ’ я з а н н я. Якщо π < х < 2π, то sinх < 0. У цих випадках sinх = . Якщо , то соsх < 0, і отже,

100

ОСНОВНІ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФОРМУЛИ §12

. Тому наведені в задачі рівності правильні не завжди.

2. Спростіть вираз sinα – tgα соsα.

Р о з в ’ я з а н н я. sin α – tg α соs α = sin α –				соs α =
= sinα – sinα = 0.
3. Обчисліть sin2 3 + ctg2 3 sin2 3.
Р о з в ’ я з а н н я. sin2 3 + ctg2 3 sin2 3 = sin2 3 +			sin2 3 =
= sin2 3 + соs2 3 = 1.

Спростіть вираз (462–464).

462.

а) 1 – sin2 α;

б) 1 – соs2 α;

в) tg2 α соs2 α;

г) 5соs2 β – 5;

ґ) 7 sin2 β – 7;

д) tgβctgβ.

463.

464.

а) 2sin2 α + 2соs2 α;

б) –sin2 x – sin2 x;

в) sin2 3α + соs2 3α;

г) 1 – sin2 с – соs2 с.

À

Доведіть тотожність (465, 466).

465.а) (1 – sin2 α)tg2 α = 1 – cos2 α; б) tg2 α – sin2 α = tg2 α sin2 α.

466.а) (tgα + ctgα) cos2 α = ctgα; б) (1 – cos2 α)(1 + tg2 α) = tg2 α.

Спростіть вираз (467, 468).

467.

а) 1

– sin2 α ctg2 α;

б) (1 – cosα)(1 + cosα);

в) 2

– cos2 α – sin2 α;

г) (соsх – 1)(2 + 2 соsх);

ґ) sinαcosαtgα;

д) tgαctgα – соs2 α.

468.

469. Відомо, що кут α гострий. Обчисліть значення:

а) cosα, якщо sinα =				;	б) sinα, якщо cosα =		;
в) tgα, якщо cosα =			;		г) ctgα, якщо tgα = 4.

101