matametika_bevz_standart_1 / matametika_bevz_standart

2 Ðîçäië

470. Знаючи, що sin α = , обчисліть значення cos α, tg α i ctg α за умови, що:

а) 0 < α < ; б) < α < π.

471. Знаючи, що cos α = 0,8, обчисліть значення sin α, tg α i ctgα за умови, що:

а) 0 < α < ; б) – < α < 0.

472. Спростіть вираз:

а) sin2 α + соs2 α – tgαctgα;

б)

в) 1– (sinα + cosα)2; ґ) tgαctgα – соs2 α;

г) (1– sinα)(1 + sinα); д) sinα cosα ctgα.

473. Доведіть тотожність:

а) (1– sin2 α) tg2 α = sin2 α; б) (1– соsα)(1 + соsα) = sin2 α;

в) 1– sin2 α – соs2 α = 0; г) sin4 α + sin2 αсоs2 α + соs2 α = 1.

474. Доведіть тотожність:

а) sin4 α – соs4 α = sin2 α – соs2 α;

в) sin2 α – sin2 β = соs2 β – соs2 α;

Á

Доведіть тотожність (475–477).

475.a) 1 + sinα + соsα + tgα = (1 + соsα)(1 + tgα);

б) (sinα + tgα)(соsα + ctgα) = (1 + sinα)(1 + соsα).

476.a) sin3 α (1 + ctgα) + соs3 α (1 + tgα) = sinα + соsα; б) 3(sin4 α + соs4 α) – 2 (sin6 α + соs6 α) = 1.

477.

Спростіть вираз (478–480).
478.	а) 1 – соs2 α + sin2 α;					б) 1 – sin2 α + sin2 αctg2 α;
	в) (1 + tg2 α)соs2 α;					г) (tgβ соsβ)2 + (ctgβsinβ)2.
479.	а) (tgα + ctgα)соs2 α;					б) 1 – sinβсоsβtgβ;
	в) соs4 α + sin2 αсоs2 α;					г) (tgϕ + ctgϕ)sinϕсоsϕ.
480.

102

ФОРМУЛИ ЗВЕДЕННЯ §13

481. Знайдіть значення:

а) sinα, tgα, ctgα, якщо соsα = – і 90° < α < 180°;

б) соsα, tgα, ctgα, якщо sinα = –0,8 і 180° < α < 270°; в) sinα, соsα, ctgα, якщо tgα = –1 і 270° < α < 360°.

482.Побудуйте графік функції у = 4 – x2. При яких значеннях вона зростає, а при яких спадає? Знайдіть її нулі і найбільше значення.

483.Спростіть вираз:

484.Розв’яжіть рівняння:

§13. Формули зведення

Кожну тригонометричну функцію
кутів ± α, π ± α, ± α, 2π ± α мож?
на виразити через тригонометричну
функцію кута α. Покажемо це спочат-
ку для синусів і косинусів.
Нехай α – довільний кут, вираже-
ний у радіанах. На одиничному колі
йому відповідає певна точка А, а куту
– α – точка В (мал. 61). Опустивши	Мал. 61

перпендикуляри АK на вісь х, ВL на

вісь у, дістанемо два рівних трикутники АОK і ВОL (оскільки

АОK = ВОL і ОА = ОВ). Тому ОL = ОK і ВL = АK, тобто

Кутам + α i – α на одиничному колі відповідають точки,

симетричні відносно осі у (мал. 62). Їх ординати рівні, абсциси протилежні. Тому

103

2 Ðîçäië

Мал. 62

Мал. 63

Кутам π – α і α також відповідають точки одиничного кола, симетричні відносно осі у (мал. 63). Тому

sin(π – α) = sinα,		соs(π – α) = –соsα.
Кутам π + α і α (а також		– α і		– α,		+ α і		+ α) відпо?

відають точки одиничного кола, симетричні відносно початку координат (мал. 64). Їх ординати протилежні й абсциси також протилежні. Тому

sin(π + α) = –sinα, соs(π + α) = –соsα,

Мал. 64

Кутам 2π – α і α відповідають точ-

ки одиничного кола, симетричні

відносно осі х (мал. 65). Їх абсциси

рівні, а ординати протилежні. Тому

sin(2π – α) = –sinα,

Мал. 65

соs(2π – α) = соsα.

104

ФОРМУЛИ ЗВЕДЕННЯ §13

Кутам 2π + α і α відповідає одна й та сама точка одиничного кола, тому

sin(2π + α) = sinα, соs(2π + α) = соsα.

З попередніх міркувань маємо 16 формул.

Ще 16 подібних формул можна довести для тангенса і котангенса:

Отже,

Усі ці 32 формули називають формулами зведення, оскільки вони дають можливість кожну тригонометричну функцію довільного кута (а отже, і числа) звести до тригонометричної функції гострого кута. Запам’ятовувати кожну із цих формул немає потреби, краще користуватися загальним правилом.

Щоб зрозуміліше сформулювати правило, домовимося синус вважати кофункцією косинуса, і навпаки, а тангенс – кофункцією котангенса, і навпаки.

Говоритимемо також, що кут зводжуваної функції відкладається від горизонтального діаметра, якщо він має вигляд π ± α або 2π ± α, чи від вертикального діаметра, якщо він має вигляд

± α або ± α.

Правило зведення можна сформулювати так: якщо кут даної тригонометричної функції відкладається від вертикального діаметра, то її замінюють кофункцією, якщо ж – від горизонтального діаметра, то її назву не змінюють. Знак ставлять такий, який має значення даної функції за умови, що кут α гострий.

П р и к л а д. Нехай треба спростити вираз . Перед

результатом треба поставити знак мінус, оскільки коли кут α

гострий, то кут належить ІІІ чверті і його косинус від’єм?

ний. Кут		– α відкладається від вертикального діаметра,

тому назву функції соs треба замінити на sin. Отже,

= –sinα.

105

2 Ðîçäië

Зауваження. Користуючися правилом зведення, ми тільки для зручності приймаємо, що кут α гострий. Насправді ж у кожній із формул зведення під змінною α можна розуміти й міру довільного кута, зокрема й від’ємного, і будь?яке дійсне число.

ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ

1.Що таке формули зведення?

2.Сформулюйте правило зведення.

3.Які знаки мають тригонометричні функції в кожній із чвертей?

4.Яку функцію називають кофункцією для синуса? А тангенса?

5. Чи може у формулі зведення α дорівнювати ? А 120°?

1. Доведіть тотожність:

Р о з в ’ я з а н н я.

2. Дану тригонометричну функцію зведіть до найменшого додатного аргументу:

а) sin845°; б) соs212°.

Р о з в ’ я з а н н я. а) sin 845° = sin (360° 2 + 125°) = sin 125° = = sin(90° + 35°) = соs35°;

б) соs212° = соs(180° + 32°) = –соs32°.

485. Які функції мають бути у порожніх клітинках таблиці?

Кути						π – α π + α		– α
		– α			+ α
Функції
sin

соs

tg

106

ФОРМУЛИ ЗВЕДЕННЯ §13

486.

Зведіть до найменшого додатного аргументу функції:

а) sin94°;

б) соs105°;

в) tg192°;

г) соs269°;

ґ) ctg179°;

д) sin282°.

Спростіть вираз (487, 488).

487.

а) sin(90° + α);

б) соs(90° + α);

в) sin(α + 90°);

г) tg(90° + α);

ґ) ctg(90° + α);

д) tg(α + 180°).

488.

а) sin(180° – α);

б) соs(180° – α);

в) соs(α + 90°);

г) tg(180° – α);

ґ) ctg(180° – α);

д) ctg(α + 270°).

À

Спростіть вираз (489–494).

489.

а) sin(360° – α);

б) tg(360° – α);

в) соs(270° + α);

г) tg(270° – α).

490.

а) sin(270° – α);

б) соs(270° – α);

в) соs(360° + α);

г) ctg(360° – α).

491.

а) sin(90° – 2α);

б) соs(90° + 3α);

в) tg(180° – 2х);

г) ctg(180° + 3х).

492.

493.

494.

ґ) tg(3π + α); д) cos(π + α); е) ctg(3π – α); є) соs(α + 5π).

Спростіть вираз (495–499).

495.

а) sin2(π + α); б)

в)

496.

497.

а) sin(π – х) + sin

б) соs(π + х) + cos

.

498.

а) sin(–α) + sinα;

б) соsα + соs(–α);

в) tg(–α) – tgα;

г) ctgх + ctg(–х).

107

2 Ðîçäië

499.	а) sin(α – β) : sin(β – α);		б) соs(х – α) : соs(α – х);
	в) tg(1 – α) : tg(α – 1);		г) ctg(1 – 2х) : ctg(2х –1).
Знайдіть значення виразу (500–502).
500.	а) sin300°;	б) соs240°;	в) tg225°;	г) ctg330°.
501.	a) sin(–210°); б) соs(–225°);		в) tg(–240°); г) ctg(–315°).
502.	а) sin405°;	б) соs720°;	в) tg750°;	г) ctg1110°.

Á

Спростіть вираз (503, 504).

503.

504.

Знайдіть значення виразу (505–508).
505.	а) соs810°;	б) sin(–1470°);	в) ctg1125°;	г) tg1830°.
506. а) ctg1500°;		б) соs(–945°);	в) соs3660°;	г) sin1620°.
507.	а) соs450°;	б) sin(–4095°);	в) соs945°;	г) tg1215°;
	ґ) sin585°;	д) соs750°;	е) tg(–9405°);є) sin1140°.
508.	а) sin3,5π;	б) соs2,5π;	в) tgπ;	г) ctg1,75π.

Зведіть функцію до найменшого додатного аргументу (509, 510).

509.

510.а) sin(3π + 2); б) соs(5π – 3); в) tg(0,5π + 1); г) сtg(π –4). Спростіть вираз (511–514).

511.

512.

108

ВЛАСТИВОСТІ І ГРАФІКИ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ §14

513.

514.

Доведіть тотожність (515, 516).

515.

516.

517.Доведіть, що коли α, β, γ – кути трикутника, то:

518.У скільки разів і на скільки порядків число 4 107 більше за 8 106?

519.Розв’яжіть рівняння:

520.Які із функцій у = х2, у = –х, у = 0,5х3, у = 2х2 + 3, у = парні, які – непарні?

§14. Властивості і графіки

тригонометричних функцій

Одна з найважливіших властивостей тригонометричних функцій в тому, що кожна з них – функція періодична.

Функцію у = f(x) називають періодичною, якщо існує таке дійсне число Т ≠ 0, що для всіх значень х із області її визначення

f(x – T) = f(x) = f(x + T).

Число Т називають періодом даної функції. Якщо Т – період деякої функції, то nТ, де n Z і n ≠ 0, також її період. Графік

109

2 Ðîçäië

Мал. 66

такої функції паралельним перенесенням уздовж осі х на Т, 2Т, ..., nТ одиниць вліво чи вправо відображається на себе (мал. 66).

Розглянемо спочатку конкретний приклад.

Функція у = sin х. Синус числа х – ордината точки одиничного кола, яка відповідає числу х (див. § 11). Оскільки кожному дійсному числу х відповідає єдине значення sin х, то у = sin х – функція, визначена на множині всіх дійсних чисел R. Щоб виявити найважливіші властивості цієї функції, побудуємо її графік. Спочатку – тільки на проміжку [0; 2π].

Складемо таблицю значень.

x	0				π				2π
y	0		1		0	–1			0

Точки з відповідними координатами нанесемо на координатну площину (мал. 67, а). Якщо обчислити значення sin х для всіх дійсних значень х і позначити на координатній площині всі відповідні їм точки, то дістанемо криву, зображену на малюнку 67, б. Це – графік функції у = sinх на [0; 2π].

На побудованому графіку показано, як змінюється ордината точки одиничного кола, здійснюючи о д и н повний обхід цього кола. На другому, третьому і наступних обходах усе повторюється. Це випливає також із тотожності sin(х + 2πn) = sin х. Тому, якщо криву, зображену на малюнку 67, б, перенести на кожний з проміжків [2nπ; 2(n + 1)π], де n – числа цілі, дістанемо весь графік (мал. 68).

а)

б)

Мал. 67

110

ВЛАСТИВОСТІ І ГРАФІКИ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ §14

Функція у = sin х періодична з найменшим додатним періодом 2π. Це видно на графіку функції (мал. 68). Можна міркувати й інакше. Оскільки завжди sin(х – 2π) = sinx = sin(х + 2π), то 2π – період функції у = sin х. А коли ця функція мала б додатний

період l < 2π, тоді правильною була б рівність .

А за умови, що 0 < l < 2π, ця рівність неправильна (переконайтесь у цьому за допомогою одиничного кола). Отже, найменший додатний період функції у = sinх дорівнює 2π.

у = sin х

Мал. 68

Графік функції у = sinх – синусоїда (мал. 68); вона нескінченна в обидва боки. Розглянемо одну матеріальну модель синусоїди.

Якщо обгорнути свічку кілька разів папером, потім перерізати її гострим ножем під кутом 45° до осі свічки (мал. 69) і розгорнути папір, матимемо матеріальну модель частини синусоїди.

Мал. 69

Оскільки для кожного значення х правильна рівність cosx =

то графік функції у = соs х – така сама синусоїда,

тільки зміщена вздовж осі х на одиниць уліво (мал. 70).

Мал. 70

111