matametika_bevz_standart_1 / matametika_bevz_standart

2Ðîçäië

553.На малюнку 85 зображено графік функції, яка виражає залежність кількості сонячних плям від часу. Чи є ця функція періодичною?

554.Хід поршня в циліндрі двигуна дорівнює 12 см (мал. 86). Знайдіть амплітуду його коливання.

	Мал. 85			Мал. 86

À

555.Визначте амплітуду, фазу, початкову фазу і кутову швидкість гармонічного коливання, заданого формулою:

556.Знайдіть період функцій:

a) у = sin6x; б) у = cos0,5x; в) у = 3sin5x; г) у = 0,5cos(x + 1). 557. Знайдіть різницю між найбільшим і найменшим зна-

ченнями функції:

558.На малюнку 87 зображено графік функції «дробова частина числа». Чи періодична ця функція? Якщо так, то який її найменший додатний період? Чи є даний графік гармонікою?

559.На малюнку 88 зображено графік функції у = |sinx|. Чи періодична ця функція? Чи відповідає вона гармонічному коливанню?

122

ПЕРІОДИЧНІ ФУНКЦІЇ І ГАРМОНІЧНІ КОЛИВАННЯ §15

Мал. 87

Мал. 88

Знайдіть період гармонічного коливання (560, 561).

560.	а) у = sin6x;	б) у = соs2x;	в) у = соs0,5x.
561.	а) у = соs3x;	б) у = sin1,5x;	в) у = sіn4x.

Побудуйте графік гармонічного коливання (562–565).

562.

а) у = 2sіnx;

б) у = –2sіnx;

в) у = 0,5sіnx.

563.

а) у = 2соsx;

б) у = –2соsx;

в) у = 0,5соsx.

564.

565.

Á

Знайдіть період функції (566–568).

566.

а) у = 7sin2x;

б) у = 2соs6x;

в) у = 0,2sin(x + π).

567.

а) у = 5sin0,1x;

б) у = соs(2x +3);

в) у = 6sіn(2 + 3x).

568.

а) у = tg2x;

б) у = 3tg0,25x;

в) у = ctg(3x – 0,5π).

Побудуйте графік функції (569–573).

569.

570.

123

2Ðîçäië

571.

572.

573*.

574.Побудуйте графік періодичної функції з періодом T = 2,

якщо на проміжку [–1; 1] її можна задати формулою: а) y = x2; б) y = x2 – 1.

575.Побудуйте графік періодичної функції з періодом T = 4, якщо на проміжку [–2; 2] її можна задати формулою:

а) y = |x|; б) y = 1 – |x|.

576. Дивлячись на графіки гармонічних коливань (мал. 89), напишіть відповідні їм функції.

Мал. 89

577. Електричний струм, який живить міську освітлювальну мережу, є змінним струмом. Його сила I постійно змінюється, здійснюючи гармонічне коливання

де I0 – максимальне значення сили струму; Т – період коливання; ϕ – початкова фаза.

В які моменти часу сила струму досягає мінімального або максимального значення і коли його значення дорівнює нулю?

124

ФОРМУЛИ ДОДАВАННЯ §16

Спростіть вираз (578, 579).

578.а) (1 – cos2 α + sin2 α)ctg2 α; б) 1 – sіnβсоsβtgβ + sin2 α.

579.

580. Чи є число 143 членом арифметичної прогресії 3, 8, 13, ...? Якщо так, то знайдіть номер цього члена прогресії.

§ 16. Формули додавання

Теорема. Які б не були кути або числа і , завжди

соs( + ) = соs соs + sіn	sin .
Д о в е д е н н я. Нехай α і β – довільні
кути. На одиничному колі їм відпо-
відають точки А (соs α; sіn α) і В (соs β;
sinβ) (мал. 90). Виразимо квадрат від-
стані між точками А і В двома способа-
ми. Якщо АОВ = α – β, де 0 < α – β < π,
то за теоремою косинусів
АВ2 = ОА2 + ОВ2 – 2 ОА ×
× ОВ соs(α – β) = 2 – 2соs(α – β).
Згідно з теоремою про квадрат
відстані між двома точками
АВ2 = (соsα – соsβ)2 + (sіnα – sinβ)2 =	Мал. 90

= соs2 α – 2 соs αсоs β + соs2 β + sіn2 α – 2 sіn αsin β + sin2 β = 2 –

– 2(соsαсоsβ + sіnαsinβ).

Отже, 2 – 2 соs (α – β) = 2 – 2(соs α соs β + sіn α sin β), звідси соs (α – β) = соsαсоsβ + sіnαsinβ.

Ми розглянули випадок, коли АОВ = α – β, де 0 < α – β < π. В інших випадках кут АОВ може дорівнювати α – β + 2πn або β – α + 2πn, де n N (мал. 91). Косинус кожного з таких кутів дорівнює соs (α – β). Тому теорема, що доводиться, правильна для будь?яких кутів α і β, а отже, і для довільних дійсних чисел α і β.

На основі доведеної теореми і формул зведення можна вивести подібні формули для перетворення виразів соs(α + β) і sіn(α ± β).

соs (α + β) = соs (α – (–β)) = соs α соs (–β) + sin α sіn (–β) = = соs α соsβ – sіnαsіnβ.

125

2 Ðîçäië

	а)			б)

Мал. 91

sіn(α – β) = sіn(α + (–β)) = sіnα соs(–β) + соsα sіn(–β) = = sіnα соsβ – соsα sіnβ.

Доведемо ще формули для перетворення виразів tg(α ± β).

Отже, маємо 6 формул:

sin() sіn соs соs sіn , соs() соs соs sіn sіn ,

Це – формули додавання. Чотири перші з них правильні для будь?яких кутів або чисел α і β, дві останні – для будь?яких допустимих значень α і β (коли всі тангенси у формулі мають значення).

126

ФОРМУЛИ ДОДАВАННЯ §16

ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ

1.Які тригонометричні рівності називають формулами додавання?

2.Як визначається косинус різниці двох кутів?

3.Чи одне й те саме означає косинус суми і сума косинусів?

4.Як визначається косинус суми двох кутів?

5.Як визначається тангенс суми (різниці) двох кутів?

1. За допомогою формул додавання перетворіть вираз:

Р о з в ’ я з а н н я.

2. Обчисліть значення sіn75°.

Р о з в ’ я з а н н я. sіn75° = sіn(30° + 45°) = sіn30° cos45° +

+ cos30° sin45° =

Відповідь.

3. Обчисліть значення виразу cos35°cos25° – sin35°sin25°. Р о з в ’ я з а н н я. cos35°cos25° – sin35°sin25° = cos(35° + 25°) =

=cos60° = .

581.Які вирази мають бути в порожніх клітинках таблиці?

α + β α + x α – x

c + 1

c – 2

sin

cos

tg

127

2Ðîçäië

582.Спростіть вираз:

		а) sіnα соsβ + соsα sіnβ;	б) sіnα соsβ – соsα sіnβ;
À		в) соsα соs2 – sіnα sіn2;	г) соsхсоsy + sіnxsіny.
Спростіть вираз (583, 584).
583.		а) sіnα соsх + соsα sіnх;	б) соsβ sіnα – соsα sіnβ;
		в) sіnα sіnβ – соsα соsβ;	г) sіnα sіn		+ соsα соs		.
584.		а) sіn(α + β) – sіnα соsβ;	б) sіnα sіnβ + соs(α + β).
		в) sіn(α + β) – sіn(α – β);	г) соs(α – β) + соs(α + β).

Обчисліть значення виразу (585–587).

585.a) cos57°cos27° + sin57° sin27°; б) sin11°соs19° + cos11°sin19°; в) cos51°sin21° – cos21°sin51°; г) sin12°cos18° + cos12°sin18°.

586.a) cos58°cos32° – sin58°sin32°; б) sin65°соs55° + cos65°sin55°; в) sin64°sin19° + cos64°cos19°; г) cos10°cos20° – sin20°sin10°.

587.a) (tg36° + tg24°) : (1 – tg36°tg24°); б) (tg70° – tg40°) : (1 + tg70°tg40°).

Доведіть тотожність (588–590).

588.а) sіn(α + β) + sіn(α – β) = 2sіnα cosβ; б) cos(α – β) – cos(α + β) = 2sіnα cosβ.

589.

590.а) б)

591.Обчисліть значення соs75°, tg75°, ctg75°. Обчисліть значення виразу (592–596).

592.	а) sіn15°;	б) соs15°;	в) tg15°;	г) ctg15°.
593.	а) sіn105°;	б) соs105°;	в) tg105°;	г) ctg105°.

128

ФОРМУЛИ ДОДАВАННЯ §16

Á

594.
595.
596.	a) sin15°cos15° – 0,25;	б)

Спростіть вираз (597–600).

597.

598.

599.

600.

Доведіть тотожність (601, 602).

601.

602.

603. Знайдіть tg(α + β) і tg(α – β), якщо tgα = , tgβ = .

129

2 Ðîçäië

604. Знаючи, що sinα =				і соsβ =		, причому 0 < α <		,
0 < β <
		, обчисліть значення:
	а) sіn(α + β); б) соs(α + β);				в) соs(α – β).

605.Доведіть тотожність:

606.Доведіть, що для будь?яких кутів α, β, γ трикутника sinγ = sіnα соsβ + соsα sіnβ.

607.З двох міст, відстань між якими 500 км, виїхали назустріч один одному автомобіль і мотоцикл, які зустрілися через 5 год. Швидкість руху автомобіля у 3 рази більша, ніж швидкість руху мотоцикла. Яка швидкість руху автомобіля і яка мотоцикла?

608.Розв’яжіть нерівність:

а) (x + 3)(x – 2) > 0;	б) (2х – 1)(х – 5) 0.
609. Порівняйте:
а) 5,73 і 5,43;	б) 1,66 і 1,86;
в) (–4,1)3 і (–4,2)3;	г) (–5,3)6 і (–4,2)6.

§ 17. Наслідки із формул додавання

Якщо у формулах додавання:

sіn(α + β) = sіnα cosβ + cosα sіnβ, cos(α + β) = cosα cosβ – sіnα sіnβ,

замість змінної β підставити α, дістанемо тотожності: sіn 2 2 sіn cos ,

cos 2 cos 2 – sіn2 ,

tg 2

Це – формули подвійного аргументу. Вони правильні при будь?яких значеннях α (остання – за умови, що tgα і tg2α існують. Формули подвійного аргументу часто використовують для перетворень тригонометричних виразів. Наприклад:

130

НАСЛІДКИ І З ФОРМУЛ ДОДАВАННЯ §17

1)соs2α + 2 sіn2 α = соs2 α – sіn2 α + 2 sіn2 α = соs2 α + sіn2 α = 1;

2)(1 – tg2 α) tg2α = (1 – tg2 α)

Зверніть увагу на вирази 1 + соs2α і 1 – соs2α. 1 + соs2α = 1 + соs2 α – sіn2 α = 2соs2 α, 1 – соs2α = 1 – (соs2 α – sіn2 α) = 2sіn2 α.

Отже,

sіn2 (1 – соs2), соs2 (1 + соs2).

Ці тотожності називають формулами пониження степеня. Замінивши в них α на , дістанемо формули половинного аргу1

менту:

Для прикладу обчислимо tg15°. Оскільки tg15° > 0, то tg15° =

Отже, tg15° =

Зауваження. Іноді аргумент α доцільно розглядати як подвій?

ний відносно аргументу					або половинний відносно 2α. На-
приклад,
sіnα = 2sіn		соs				, соsα = соs2		– sіn2		,

sіn4α = 2sin2α соs2α. Правильні і такі формули:

Усі ці тотожності називають формулами перетворення суми тригонометричних функцій у добуток (різницю вважають окремим видом суми). Дві останні формули правильні тільки за умови, що tgα і tgβ існують.

131