Спектральная плотность энергии

Общая энергия действительного, энергетического сигнала х(t), определенного в интер­вале (−∞, ∞), описывается уравнением (1.7). Используя теорему Парсеваля [1], мы мо­жем связать энергию такого сигнала, выраженную во временной области, с энергией, выраженной в частотной области:

, (3.5)

где Х(f) — Фурье-образ непериодического сигнала х(t). (Краткие сведения об анализе Фурье можно найти в приложении А.) Обозначим через ψ_x(f) прямоугольный ампли­тудный спектр, определенный как

. (3.6)

Величина ψ_x(f) является спектральной плотностью энергии (ESD) сигнала х(t). Следова­тельно, из уравнения (1.13) можно выразить общую энергию х(t) путем интегрирова­ния спектральной плотности по частоте:

. (3.7)

Данное уравнение показывает, что энергия сигнала равна площади под ψ_x(f) на графике в частотной области. Спектральная плотность энергии описывает энергию сигнала на единицу ширины полосы и измеряется в Дж/Гц. Положительные и отрицательные частотные компоненты дают равные энергетические вклады, поэтому, для реального сигна­ла x(t), величина |X(f)| представляет собой четную функцию частоты. . (3.8) Следовательно, спектральная плотность энергии симметрична по частоте относительно начала координат, а общую энергию сигнала x(t) можно выразить следующим образом:

Основная литература 2 [42-43]; .

Дополнительная литература 3 [4-5], 5 [11-15, 69-71].

Контрольные вопросы:

1.Что такое детерминированные сигналы?

2.дайте определение энергетическим и мощностным сигналом?

3.Из чего состоит спетральная плотность сигнала?

Лекция №4 (2 час.)

Автокорреляция энергетического сигнала

Корреляция — это процесс согласования; автокорреляцией называется согласование сигнала с собственной запаздывающей версией. Автокорреляционная функция дейст­вительного энергетического сигнала х(t) определяется следующим образом:

для −∞ < τ < ∞ (4.1)

Автокорреляционная функция R_x(τ) дает меру похожести сигнала с собственной копией, смещенной на τ единиц времени. Переменная τ играет роль параметра сканирова­ния или поиска. R_x(τ) — это не функция времени; это всего лишь функция разности времен τ между сигналом и его смещенной копией.

Автокорреляционная функция действительного энергетического сигнала имеет сле­дующие свойства:

1. R_x(τ) = R_x(-τ) симметрия по τ относительно нуля

2. R_x(τ) ≤ R_x(-τ) для всех τ максимальное значение в нуле

3. R_x(τ)↔ ψ_x(f) автокорреляция и ESD являются Фурье-образами друг

друга, что обозначается двусторонней стрелкой

4. значение в нуле равно энергии сигнала

При удовлетворении пп. 1-3 R_x(τ) является автокорреляционной функцией. Условие 4 —следствие условия 3, поэтому его не обязательно включать в основной набор для проверки на автокорреляционную функцию.

Автокорреляция периодического сигнала

Автокорреляционная функция действительного мощностного сигнала х(t) определяет­ся следующим образом:

для −∞ < τ < ∞. (4.2)

Если сигнал х(t) является периодическим с периодом Т₀, среднее по времени в урав­нении (1.22) можно брать по одному периоду Т₀, а автокорреляционную функцию вы­ражать следующим образом:

для −∞ < τ < ∞. (4.3)

Автокорреляционная функция действительного периодического сигнала имеет свой­ства, сходные со свойствами энергетического сигнала:

1. R_x(τ) = R_x(-τ) симметрия по т относительно нуля

2. R_x(τ) ≤ R_x(-τ) для всех τ максимальное значение в нуле

3. R_x(τ)↔ G_x(f) автокорреляция и PSD являются Фурье-образами друг

друга

4. значение в нуле равно средней мощности сигнал

Случайные сигналы

Основной задачей системы связи является передача информации по каналу связи. Все полезные сигналы сообщений появляются случайным образом, т.е. приемник не знает заранее, какой из возможных символов сообщений будет передан. Кроме того, вслед­ствие различных электрических процессов возникают шумы, которые сопровождают информационные сигналы. Следовательно, нам нужен эффективный способ описания случайных сигналов.

Случайные переменные

Пусть случайная переменная Х(А) представляет функциональное отношение между случайным событием А и действительным числом. Для удобства записи обозначим случайную переменную через X, а ее функциональную зависимость от А будем считать явной. Случайная переменная может быть дискретной или непрерывной. Функция распределения F_x(х) случайной переменной X описывается выражением

F_x(x)=P(X≤ x), (4.4)

где Р(Х≤ х) — вероятность того, что значение, принимаемое случайной переменной X, меньше действительного числа х или равно ему. Функция распределения F_x(x) имеет следующие свойства:

1.0 ≤ F_x(x) ≤ 1

2. F_x(x₁) ≤ F_x(x₂), если x₁ ≤ x₂

3. F_x(−∞) = 0

4. F_x(+∞) = 1

Еще одной полезной функцией, связанной со случайной переменной X, является плотность вероятности, которая записывается следующим образом:

. (4.5,а)

Как и в случае функции распределения, плотность вероятности — это функция действительного числа х. Название "функция плотности" появилось вследствие того, что вероятность события x₁ ≤ X ≤ x₂ равна следующему:

P(x₁ ≤ X ≤ x₂) = P(X ≤ x₂) – P(X ≤ x₁) = (4.5,б)

= F_x(x₂) – F_x(x₁) =

.

Используя уравнение (4.5,6), можно приближенно записать вероятность того, что случайная переменная X имеет значение, принадлежащее очень узкому промежутку между х и х + Δx:

. (4.5,в)

Таким образом, в пределе при Δx, стремящемся к нулю, мы можем записать следующее:

. (4.5,г)

Плотность вероятности имеет следующие свойства:

1. p_x(х) ≥ 0

2.

Таким образом, плотность вероятности всегда неотрицательна и имеет единичную площадь. В тексте книги мы будем использовать запись р_х(х) для обозначения плотно­сти вероятности непрерывной случайной переменной. Для удобства записи мы часто будем опускать индекс X и писать просто р(х). Если случайная переменная X может принимать только дискретные значения, для обозначения плотности вероятности мы будем использовать запись р(Х=х_i).

Основная литература 2 [38-50]; 6 [56-59].

Дополнительная литература 4[ 124-135], 5[ 266-277].

Контрольные вопросы:

1. Что такое автокорреляция;

2. Автокорреляция перидического сигнала;

3. Случайные сигналы дайте определение.

Лекция №5 (1 час.)

Каналы связи и их характеристики. Дискретный канал (ДК).

Информация – это совокупность сведений о каком-либо событии, явлении, предмете. Для того, чтобы информацию можно было хранить и передавать, ее представляют в виде сообщений.

Сообщение – это совокупность знаков (символов), содержащих ту или иную информацию. Для передачи сообщений системы связи могут использовать материальные носители (например, бумага, устройства хранения на магнитных дисках или лентах) или физические процессы (изменяющийся электрический ток, электромагнитные волны, луч света).

Физический процесс, отображающий передаваемое сообщение, называется сигналом. Сигнал всегда представляет собой функцию времени.

Если сигнал представляет собой функцию S(t), принимающую для любого фиксированного значения t, только определенные, наперед заданные значения S_k, такой сигнал и отображаемое им сообщение называются дискретными. Если сигнал принимает в некотором интервале времени любое значение, он называется непрерывным или аналоговым.

Множество возможных значений дискретного сообщения (или сигнала) ДС представляет собой алфавит сообщения. Алфавит сообщения обозначается заглавной буквой, например, А, а в фигурных скобках указываются все его возможные значения - символы.

Число символов алфавита называется объемом алфавита.

К – объем алфавита.

Сообщение на выходе источника представляет собой случайное событие или процесс. Соответственно принимаемое сообщение, выдаваемое получателю, также является случайным событием, но оно должно отображать сообщение на передаче. Нарисуем упрощенную схему передачи дискретных сообщений.

А

В

ИДС

ПДС

СПДС

ИДС –источник дискретных сообщений ПДС – получатель дискретных сообщений СПДС – система передачи дискретных сообщений

Обозначим алфавит сообщения на передаче (алфавит входного сообщения, входной алфавит) – А, алфавит сообщения на приеме (алфавит выходного сообщения, выходной алфавит) – В.

В общем случае эти алфавиты могут иметь бесконечное множество значений. Но на практике они конечны и совпадают. Это значит, что при приеме символа b_k считается, что передавался символ a_k.