Модель канала с памятью

Пусть состояния канала различаются по вероятности ошибки в символе. Такой канал задается совокупностью переходных вероятностей вида

где С – конечное множество состояний канала. Это условная вероятность приема символа b_i и перехода дискретного канала в состояние c_i в i-й момент времени, если передавался символ a_i , а в предыдущий момент времени (i-1) канал находился в состоянии с_i-1 .

Если предположить, что состояние канала в i-й момент времени с_i статистически не зависит от входных и выходных символов, то при заданном символе входного алфавита в i-й момент времени a_i и известном состоянии канала в предыдущий (i-1)-й момент с_i-1 можно записать

Здесь p(ci/ci-1) – переходные вероятности состояний канала.

В каждом состоянии c_i ошибки возникают независимо друг от друга с постоянной вероятностью.

Последовательность состояний ДК с памятью является простой цепью Маркова. Простая цепь Маркова – это случайная последовательность состояний (или символов и т.д.), в которой вероятность перехода в состояние c_i полностью определяется состоянием c_i-1 . Для описания простой цепи Маркова надо задать переходные вероятности вида P(c_i/c_i-1) . Переходные вероятности записываются в виде квадратной матрицы. Порядок матрицы переходных вероятностей равен числу состояний дискретного канала.

Модель двоичного симметричного канала с памятью, имеющего К состояний, задается матрицей переходных вероятностей

и вероятностями ошибки в каждом состоянии канала

Элементы матрицы переходных вероятностей удовлетворяют условию

Пример.

Канал может находиться в трех состояниях. Последовательность состояний является простой цепью Маркова. Какое число переходных вероятностей необходимо знать для задания модели канала? - 9.

Средняя вероятность ошибочного приема двоичного символа в канале с К состояниями определяется по формуле

Р_i – финальные, то есть безусловные вероятности состояний канала в произвольный момент времени i. Финальные вероятности определяются из системы уравнений:

Тогда средняя вероятность ошибки в двоичном символе для такого канала равна P_e=P₁  ₁+P₂  ₂+…+P_k  _k.

Средняя вероятность безошибочного приема двоичного символа равна

Q=1-P_e.

Модели дискретных каналов

Несоответствие принятого элемента сигнала данных передан­ному называется ошибкой.

С. целью аналитического моделирования систем ПДС проведены многочисленные исследования закономерности потоков ошибок и предложен ряд математических моделей дискретных каналов [5]. При этом к моделям источника ошибок предъявляются следующие требования: удобство аналитического моделирования систем ПДС, обеспечивающее достаточное соответствие модели систем и реаль­ным объектам; простота оценки параметров модели в результате измерений.

Модель дискретных каналов может строиться двумя способами, Если при первом способе применяются существующие математическиe модели случайных процессов и экспериментально оценива­ется достаточно большое число их параметров, то при втором используются аппроксимационные способы представления потока ошибок. В случае, когда ошибки в каналах появляются независи­мо с вероятностью р_ош, вероятность появления в n-элементной комбинации t ошибок P(t,n) определяется биномиальным распределением!

р (t,n)=

При этом вероятность приема неискаженной комбинации (t=0),

Р(0,n)=,

а вероятность появления хотя бы одной ошибки (рис. 1.6)

.

Вероятность появления т и более ошибок

Для большинства каналов данная модель приводит к недопу­стимым погрешностям. В соответствии с моделью Гильберта, учитывающей группирование ошибок, канал может находиться в од­ном из двух состояний — «хорошем», когда ошибки невозможны, и «плохом», когда возникают независимые ошибки с вероятностью . Канал задается матрицей переходных вероятностей

(1.21)

и вероятностью . Вероятность ошибки в канале

p_ош = p₁₀/(p₀₁+p₁₀). (1.22)

Вероятность возникновения пакета ошибок с данного элемента

p_п ⁼⁼ p₀₁p₁₀/(p₀₁+p₁₀).

Другой распространенной моделью является модель В. Беннета и Ф. Фройлиха, которая задается тремя параметрами:

вероятностью появления пакета р_п, равной отношению чиcла пакетов к общему числу переданных бит; пакеты неза­висимы; ; распределением вероятностей пакетов р_п(l) различной длины l;

вероятностью ошибки в па­кете р_ош._п.

Простейшей моделью, учи­тывающей группирование оши­бок в пакеты, является модель Бергера — Мандельброта.

Обобщением модели Беннета-Фройлиха является модель Попова — Турина, кото­рая предполагает существова­ние в канале независимо воз­никающих цепочек пакетов ошибок. Распределение длин цепочек полагается геометрическим. Внутри цепочек незави­симо появляются пакеты ошибок, длины которых распределены по полигеометрическому закону. Внутри пакетов задается условная вероятность появления ошибок.

Задача 1.20. Определить вероятность Р(1, n) ошибочного приема для каналов с независимыми ошибками кодовой последовательности длиной n=9 для р_ош=1•10^-3 и 1•10^-5.

Решение. Вероятность Р(1, n) = 1—(1—Р_ош)ⁿ np_ош = 9•10^-3 и 9•10^-5

Задача 1.21. Определить для тех же условий вероятности приема неиска­женной комбинации P(Q, п), а также вероятности появления т=2, ..., 5 и более.

Рассмотрим двухпараметрическую модель дискретного канала Л. П. Пуртова [49, 71]. Вероятность появления искажений кодо­вой комбинации длиной п (см. рис. 1.6)

при пр << 1.

При а0 имеем случай независимого появления ошибок, а при а1 — появления групповых ошибок (при а= 1 вероятность ис­кажений комбинации не зависит от n, так как в каждой ошибочной комбинации все элементы приняты с ошибкой). Поэтому а явля­ется показателем группирования. Для реальных каналов а=0,3... ... 0,7, а р=10^-3... 10^-5. Распределение ошибок суммарной кратности в комбинациях разной длины

.

Задача 1.24. При передаче дискретных сообщений по KB радиотелеграф­ному каналу блоками длиной 127 элементов определить вероятность появления в блоке четырех и более ошибок, если известны р=1,31•10-² и а=0,448.

Решение. Вероятность .

Рассмотренные модели источников ошибок не учитывают не­стационарность потока ошибок в каналах {часовые, дневные и не­дельные вариации). Поэтому с точки зрения адекватности модели реальным каналам наиболее перспективной следует считать модель дискретного канала с переменными параметрами [5.35]

Дополнительная литература 2[ 58-66], 6 [73-80].

Контрольные вопросы:

1. Модель канала с памятью

2. Модель канала без памятью

3. Симметричный канал.

4. Модель Маркова.

5. Модель Гильберта.

Лекция №7 (2 час.)

Узкополосная передача.

Важнейший параметр систем цифровой связи — отношение сигнал/шум

Любой, кто изучал аналоговую связь, знаком с критерием качества, именуемым отношени­ем средней мощности сигнала к средней мощности шума (S/N или SNR). В цифровой связи в качестве критерия качества чаще используется нормированная версия SNR, .— это энергия бита, и ее можно описать как мощность сигнала S, умноженную на время переда­чи бита . — это спектральная плотность мощности шума, и ее можно выразить как мощность шума N, деленную на ширину полосы W. Поскольку время передачи бита и ско­рость передачи битов взаимно обратим, можно заменить на

(7.1)

Еще одним параметром, часто используемым в цифровой связи, является скорость передачи данных в битах в секунду. В целях упрощения выражений, встречающихся в книге, для представления скорости передачи битов вместо записи будем писать просто R. С учетом сказанного перепишем, выражение (3.29) так, чтобы было явно видно, что отношение представляет собой отношение S/N, нормированное на ширину полосы и скорость передачи битов:

(7.2)

Одной из важнейших метрик качества в системах цифровой связи является график за­висимости вероятности появления ошибочного бита от . На рис. 7.6 показан "водопадоподобный" вид большинства подобных кривых. При , . Без­размерное отношение — это стандартная качественная мера производительности систем цифровой связи. Следовательно, необходимое отношение можно рас­сматривать как метрику, позволяющую сравнивать качество различных систем; чем меньше требуемое отношение , тем эффективнее процесс детектирования при данной вероятности ошибки.

для

Рис.7.1. Общий вид зависимости от

Низкочастотная демодуляция/детектирование