1.4 Метод неопределенных множителей Лагранжа

Условия экстремума функции, которые рассмотрены выше, позволяют найти, так называемый, безусловный экстремум. Однако, в большинстве практических задач принятия решения требуется принять решение – определить экстремум критерия оптимальности при условии, что на независимые переменные наложены ограничения, имеющие вид равенств. Типичными примерами подобных задач служат задачи, в которых требуется оптимальным образом распределить заданное количество ресурсов, чтобы принятая оценка эффективности процесса имела при этом максимальное или минимальное значение.

Для решения таких задач в классическом анализе используется метод неопределенных множителей Лагранжа. Сами задачи получили название задач на условный экстремум.

1.4.1 Основные положения

Пусть требуется найти экстремум функции, например, минимум

Q(, при условии

,

Согласно методу Лагранжа для решения задач на условный экстремум функции составляется вспомогательная функция Лагранжа, которая определяется соотношением

,

где , =– неопределенные множители Лагранжа.

Таким образом, задача нахождения условного экстремума функции сводится к задаче нахождения безусловного экстремума функции, но число неизвестных в ней n +k (uι,ι =1, n ;λj ,j =1, k ).

Как известно из п. 1.2 необходимым условием безусловного экстремума функции является равенство нулю частных производных, которые для данного конкретного случая записываются в виде

.

и дает n уравнений для определения неизвестных. Эта система уравнений дополняется к уравнениям и, следовательно, получается (n +k) неизвестных и (n +k) уравнений.

Метод множителей Лагранжа дает лишь необходимые условия существования условного экстремума для непрерывных функций, имеющих также непрерывные производные, поэтому найденные значения переменных могут и не давать экстремума функции Q (u1, ...,un), их надо проверить с использованием достаточных условий экстремума функции многих переменных.

В окончательном решении задачи фактически множители Лагранжа не известны, поэтому задача совместного решения системы, иногда ставится как задача исключения "k" неизвестных переменныхuι с последующим решением остающейся системыn уравнений сn неизвестными.

Задача Лагранжа имеет "n –k" степеней свободы.

1.4.2 Геометрическая интерпретация метода множителей Лагранжа

Интерес представляют геометрический смысл множителей Лагранжа. Для такой интерпретации лучше рассмотреть задачу с двумя неизвестными и одним ограничением.

Пусть требуется найти минимум функции при условии. Если минимум существует, то в пространстве функцияQ должна иметь вид воронки, а условие связи – это некоторая поверхность.

На рис. 4, б изображены на плоскости переменныхu1,u2 линии уровня функцииQ (u1,u2) и ограничениеφ (u1,u2) = 0, представляющее собой линию. Составляется вспомогательная функцияQ (u1,u2) =Q (u1,u2) +λφ (u1,u2). Необходимое условие экстремума дает:

Рисунок 1.4 –Геометрический смысл множителей Лагранжа:

а – пространственное изображение;

б – изображение проекции на плоскость u2 – u1

или

В точке А – точке касания линиис линией равного уровня функциииимеют общую касательную и необходимое условие минимума представляет собой условие пропорциональности двух векторов: вектора – градиента функциии вектора– градиента функции

Два вектора пропорциональны друг другу лишь в том случае, если они коллинеарные. Так как градиент функции перпендикулярен касательной к линии уровня, то в точке А выполняется условие, и множитель является коэффициентом пропорциональности между векторами и