1.4.3 Экономическая трактовка метода множителей Лагранжа

В некоторых задачах множители Лагранжа допускают и экономическое толкование. Если толковать целевую функцию Q (u1, ...,un) как прибыль, получаемую некоторым предприятием при использовании ресурсов, а условия k ограничения на дефицит ресурсов, то при (u1, ...,un) < 0 прибыль, то максимум целевой функции будет расти.

Экономист такую задачу будет решать следующим образом. Он назначит некоторые цены на единицы ресурсов и предложит потребителю купить их по этой цене. Последний, максимизируя чистую прибыль, найдет (u1, ...,un) и скажет, сколько ресурсов он хотел бы купить. В экономике почти всегда бывает так, что чем больше, тем меньше (u1, ...,un), и чем меньше, тем больше (u1, ...,un). Если окажется, что (u1, ...,un) > 0, то экономист повысит цену, если (u1, ...,un) < 0 – понизит. Так будет происходить до тех пор, пока при некоторой цене, называемой равновесной, потребителю будет выгодно, чтобы дефицит ресурсов(u1, ...,un) был равен нулю, при этом чистая прибыль будет максимальна, т.е. будут выполняться условия

Таким образом, равновесная цена с точностью до знака равна множителю Лагранжа.

\

1.4.4 Особые случаи

В заключение следует отметить особые случаи, когда градиент функции равен нулюи когда градиент φ₁(u1, ..., un) равен нулю

В первом случае решение может достигаться в точке экстремума функции множителиравны нулю, и задача сводится к задаче безусловного экстремума и условияроли не играют. Во втором случае подозрительные на экстремум точки находятся из уравнений, в которых затем вычисляется значение критерия

Для того, чтобы условия экстремума были справедливы и в особых случаях, функцию Лагранжа записывают в виде

тогда можно утверждать, что для условного экстремума Q (u1, ...,un) необходимо существование таких чисел,, одновременно не равных нулю, что в точке предполагаемого решения выполнены условия ≥ 0

(u1, ...,un) =0.

Если ≠ 0, то его можно выбрать положительным числом, обычно полагают = 1, это никак не отражается на решении.

Требуется найти минимум функции = при условии.

Для решения записывается функция Лагранжа

,

для которой уже необходимо определить безусловный экстремум. Необходимое условие экстремума даст следующую систему уравнений:

откуда Используя уравнение связи, получаюти соответственно

.

По плану производства продукции предприятию необходимо изготовить 180 изделий. Эти изделия могут быть изготовлены двумя технологическими способами. При производстве u1 изделий первым способом затраты равны (4u1 +), а при изготовленииu2 изделий вторым способом они составляют (8u2+ ). Определить, сколько изделий каждым из способов следует изготовить, так чтобы общие затраты на производство продукции были минимальными.

Математическая постановка задачи состоит в определении минимального значения функции при условиях.

Задача может быть решена методом множителей Лагранжа. Для этого без учета требования неотрицательности переменных составляется функция Лагранжа

Необходимое условие экстремума функции Лагранжа дает

откуда

Подстановка найденных значений в условие u1 +u2 = 180 дает

− и, следовательно,=186 и, соответственно,u1 = 91,

u2 = 89.

По вторым частным производным можно показать, что найденная точка доставляет минимум функции Q (u1,u2), т.е. если будет изготовлено 91 изделие первым технологическим способом и 89 изделий вторым технологическим способом, общие затраты будут минимальны и составятQmin = 17 278 .