Лекция 13. Необходимое и достаточные условия локального экстремума функции План

1. Стационарные точки функции. Необходимое условие локального экстремума функции

2. Первое достаточное условие локального экстремума

3. Второе и третье достаточные условия локального экстремума

4. Наименьшее и наибольшее значения функции на сегменте

5. Выпуклые функции и точки перегиба

1. Стационарные точки функции. Необходимое условие локального экстремума функции

_{Определение 1.} Пусть функция определена на _{. Точка называется стационарной точкой функции , если дифференцирована в точке и .}

Теорема 1 (необходимое условие локального экстремума функции). Пусть функция определена на _{и имеет в точке локальный экстремум. Тогда выполняется одно из условий:}

1. функция _{не имеет в точке производной;}

2. функция _{имеет в точке производную и .}

_{Таким образом, для того, чтобы найти точки, которые являются подозрительными на экстремум, надо найти стационарные точки функции и точки, в которых производная функции не существует, но которые принадлежат области определения функции.}

_{Пример. Пусть . Найти для нее точки, которые являются подозрительными на экстремум. Для решения поставленной задачи, в первую очередь, найдем область определения функции: . Найдем теперь производную функции:}

_.

_{Точки, в которых производная не существует: . Стационарные точки функции:}

_.

_{Поскольку и , и принадлежат области определения функции, то они обе будут подозрительными на экстремум. Но для того, чтобы сделать вывод, будет ли там действительно экстремум, надо применять достаточные условия экстремума.}

2. Первое достаточное условие локального экстремума

Теорема 1 (первое достаточное условие локального экстремума). Пусть функция определена на _{и дифференцирована на этом интервале везде за исключением, возможно, точки , но в этой точке функция является непрерывной. Если существуют такие правая и левая полуокрестности точки , в каждой из которых сохраняет определенный знак, то}

_{1) функция имеет локальный экстремум в точке , если принимает значения разных знаков в соответствующих полуокрестностях;}

_{2) функция не имеет локальный экстремум в точке , если справа и слева от точки имеет одинаковый знак.}

_{Доказательство. 1) Предположим, что в полуокрестности производная , а в .}

_{Таким образом в точке функция имеет локальный экстремум, а именно - локальный максимум, что и нужно было доказать.}

_{2) Предположим, что слева и справа от точки производная сохраняет свой знак, например, . Тогда на и функция строго монотонно возрастает, то есть:}

_,

_.

_{Таким образом экстремума в точке функция не имеет, что и нужно было доказать.}

_{Замечание 1. Если производная при прохождении через точку меняет знак с «+» на «-», то в точке функция имеет локальный максимум, а если знак меняется с «-» на «+», то локальный минимум.}

_{Замечание 2. Важным является условие непрерывности функции в точке . Если это условие не выполняется, то теорема 1 может не иметь места.}

_{Пример. Рассматривается функция (рис.1):}

Эта функция определена на _{и непрерывна везде, кроме точки , где она имеет устранимый разрыв. При прохождении через точку меняет знак с «-» на «+», но локального минимума в этой точке функция не имеет, а имеет локальный максимум по определению. Действительно, около точки можно построить такую окрестность, что для всех аргументов из этой окрестности значения функции будут меньше, чем значение . Теорема 1 не сработала потому, что в точке функция имела разрыв.}

_{Замечание 3. Первое достаточное условие локального экстремума не может быть использовано, когда производная функции меняет свой знак в каждой левой и каждой правой полуокрестности точки .}

_{Пример. Рассматривается функция:}

_{Поскольку , то , а потому , но . Таким образом:}

_,

_{т.е. в точке функция имеет локальный минимум по определению. Посмотрим, сработает ли здесь первое достаточное условие локального экстремума.}

_{Для :}

_.

Для первого слагаемого правой части полученной формулы имеем:

_,

_{а потому в малой окрестности точки знак производной определяется знаком второго слагаемого, то есть:}

_,

_{а это означает, что в любой окрестности точки будет принимать как положительные, так и отрицательные значения. Действительно, рассмотрим произвольную окрестность точки : . Когда}

_,

_то

_{(рис.2), а меняет свой знак здесь бесконечно много раз. Таким образом, нельзя использовать в приведенном примере первое достаточное условие локального экстремума.}