Іі.3. Понятие о нелинейных фракталах
Рассмотренные в п. ІІ.2 фракталы являются линейными потому, что стру-ктуры их инициаторов и генераторов – отрезки прямих линий, которые описы-ваются уравнениями 1-й степени. В бо-льшинстве своём они являются аб-страктными геометрическими конструк-циями, отдалённо или вообще не напо-минающими природные объекты.
Совершенно иначе обстоит дело тогда, когда в качестве элементов ини-циаторов и генераторов выступают кри-вые линии, которые описываются алге-браическими уравнениями различных порядков и потому получаемые фракта-лы называются алгебраическими. Это самая большая группа фракталов. Их получают в результате компьютерного моделирования нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Наиболее
изучены процессы и моделирующие их
фракталы, которые описываются квад-ратными уравнениями.
Известно, что нелинейные динами-
ческие системы обладают несколькими
устойчивыми состояниями или аттра-кторами [57]. К понятию аттрактора впервые пришел ученый-метеоролог Эдвард Лоренц, исследуя хаотическое поведение водяного колеса с черпака-ми, на которое льётся вода с большой скоростью. Он выяснил, что в течении длительного времени его вращение мо-жет менять своё направление несколь-ко раз, никогда не достигая постоянной скорости и никогда не повторяясь ка-ким-либо предсказуемым образом.
Моделируя это поведение на ком-пьютере, Лоренц получил на трехмер-ном графике сложную пространствен-ную кривую, витки которой не пересе-каются. Очертания её линий имеют вид крыльев бабочки или двойной спирали в трёхмерном пространстве [40]. (рис. ІІ.21).
Непростое, но очень важное поня-тие аттрактора определяет те состоя-ния хаотичного поведения динамичных систем, при которых хаос переходит в порядок.
В связи с большим разнообразием таких систем выявлены разные аттрак-торы, которые классифицированы по числу переменных, необходимых для описания эволюции этих систем во времени. Крупный американский иссле-дователь Билл М. Вильямс по этому поводу писал: «Наука о Хаосе открыла, что всеми внешними явлениями управ-ляют четыре силы, извлекающие поря-док из беспорядка, получившие назва-ние аттракторов: Точечный Аттрактор, Циклический (круговой) Аттрактор, Ат-тракотор Торас и Странный Аттрактор».
[10]. Первый представляется в виде одномерной линии, второй – в виде множества линий в двухмерной плос-кости, третий – в виде множества линий в трёхмерном пространстве, а четвер-тый – в виде множества пульсирующих линий, подобных вибрирующим стру-нам. Четырёхмерность Странного Атт-рактора объясняется наличием вибра-ций. Вильямс утверждает, что когда мы находимся под действием первых трёх аттракторов, нами манипулируют и мы становимся предсказуемыми. Только в
диапазоне Странного Аттрактора мы
можем быть действительно свободны-ми.
Наиболее сложный объект во всей
во всей математике – множество фрак-тальных форм Мандельброта. Его сис-
|
|
Мандельброта, увеличенный в 200 раз. (пример эстетики порядка, граничащего с хаосом)
|
|
Рис. ІІ.25. Фрактальная картина
|
|
тема начала проявляться, ко-гда учёный попытался свести к общим законам множества французских математиков Гас-тона Жюлиа и Пьера Фато, (рис. ІІ.22) к описанию которых не подходили понятия евклид-довой геометрии. Обнаружив, что множества Жюлиа явля-ются квадратичными фракта-лами, Мандельброт предло-жил реализовать на компле-ксной плоскости простейший нелинейный алгоритм:
Zn+1 Z2n + C [ 2 ],
где знак означает итера-цию.
Этот алгоритм позволяет получить числовую последовательность, каждый последующий член которой равен ква-драту предыдущего плюс некоторое слагаемое.
Если в итерационном процессе за-фиксировать значение С и изменять значение Zn, то получится набор мно-жеств Жюлиа (см. рис. ІІ. 22), а если зафиксировать значение Zn, то полу-чится множество Мендельброта (рис. ІІ. 23). Это множество структурировано величиной золотой пропорции – 0,618. Оно составлено с помощью винтовых форм и спиралей. Его границы, поража-ющие своей сложностью и своеобра-зной красотой, включают в себя полный набор уменьшенных и деформи-рованных копий множеств Жю-лиа (рис. ІІ. 23 -- ІІ.27).
Исследуя нелинейные зави-симости структуры границ объ-ектов от начальных условий их существования, а также поведе-ние динамичных систем, ученые обнаружили, что вблизи этих границ возникает явление кон-куренции за «обладание» при-граничным пространством. Так происходит переход от хаоса к порядку «снаружи» и «нахожде-ния внутри» и наоборот.
Наблюдая границы своего фрактала, Мандельброт убедил-ся, что при любом увеличении изобра-жения появляются новые формы, похо-жие на морских коньков или на ветви вьющихся растений (рис. ІІ.25). Кроме того, он обнаружил так называемые «плавающие молекулы» или «пылин-ки», которые напоминают островки, ок-ружающие «материк», называемый по –разному : «пряничный человек», «чер-ный карлик», «сердце» (см.рис. ІІ.23).
|
|
Рис. ІІ.27. Увеличенный фрагмент множества
Мандельброта
Американские математики Джон Хаббарт и Андриан Доуди доказали, что каждая плавающая молекула «ви-сит» на филигранной нити, которая связывает её с другими молекулами. В результате образуется хрупкая паутина между этими молекулами и основным объектом. Однако, при дальнейшем увеличении обнаруживались новые мо-лекулы, каждая из которых напоминала систему в целом и одновременно чем-то отличалась от неё. «Это можно назвать чудом миниатюризации: каж-дая новая деталь является вселенной, цельной и многоликой!» [24].
Кстати говоря, простейшая модель итерации последовательностей сумм чисел Фибоначчи 0,1,1,2,3,8,13,… в ка-честве предела последовательных де-лений каждого последующего числа на
предыдущее имеет число 1,618 золото-го сечения.
Оказалось, что именно алгоритмом
|
|
|
|
Рис. ІІ.28. Идея концепции динамичного поселения
(от Космоса до Хаоса)
Мандельброта пользуется природа, со-здавая свои шедевры – фрактальные
объекты, - от листьев травы до биоло-гических популяций. Поэтому не уди-вительно, что они поразительно краси-вы.
Для очертаний объектов природы – туч, деревьев, снежинок, капель дождя и т.п., характерно определённое чере-дование порядка и беспорядка, космоса и хаоса и представляется, что их гармо-ния является одним из высших принци-пов природы. Под влиянием этой гар-монии формируется наше ощущение прекрасного. Как говорил Гегель: «Мир есть гармония гармоний и дисгармо-ний», а немецкий физик Герт Эйленбер-гер как-то заметил, что наши чувства прекрасно «подпитываются» гармонич-ным сочетанием упорядоченности и беспорядка, устойчивости и хаотично-сти, наблюдаемых в природных явле-ниях.
Геометрической форме присущна масштабность как качественная харак-ристика организуемого ею пространст-ва, заполненного объектами, с которы-ми она вступает в различные метричес-кие соотношения. Исследователи хаоса считают, что произведения истинного искусства не должны иметь единого масштаба в том смысле, что при его создании важные детали должны вы-полняться в разных масштабах. При этом они параллелепипеду небоскреба в Нью-Йорке противопоставляют бароч-ное здание парижской «Гранд Опера», которое по своей природе фрактально, ибо с какого расстояния не рассмотри-вай это строение, всегда найдешь дета-ли, ласкающие взгляд.
Диалектическое единство Хаоса и Космоса присуще всем этапам истории европейского искусства. Так, «рожден-ный из глубин древнегреческой архаики сдержанный и благородный порядок классического искусства Греции сменя-ется вычурным беспорядком искусства эпохи эллинизма. Взятый за образец республиканским Римом порядок клас-сического древнегреческого канона рас-
падается в безудержном хаосе эпохи Римской империи. Затем простота гео-метрического порядка романских хра-мов утопает в каменном кружеве готи-ки, здоровая гармония эпохи Возрож-дения сменяется болезненными изви-вами постренессансного баракко и ро-коко, ритмичный строй классицизма разрушается вихрем романтизма. И уже на нашем веку природный космос критического реализма сменяется ис-кусственным хаосом импрессионизма и модернизма. За внешней пестротой смены различных стилей в европейской истории искусств легко усматривается строгая закономерность взаимных пе-реходов гармонических и дисгармони-ческих стилей, «левополушарных» и «правополушарных» тенденций, апол-лонического и дионисического начал или в общем виде Космоса и Хаоса [11].
В свою очередь, в каждом из выде-ленных периодов обнаруживается пе-риодическая смена гармонических и дисгармонических тенденций. Да и в творчестве отдельного художника при-сутствует «гармония гармонии и дис-гармонии». Примером тому является творчество выдающегося архитектора ХХ века Ле Корбюзье, который боль-шую часть жизни абсолютизирован геометрию и прямой угол, а в послево-енный период, очевидно, стремясь ком-пенсировать нехватку экспрессии и ху-дожественной выразительности своих прежних построек, создал капеллу в Роншане, которая, по словам автора, говорит «языком чистых форм». Под-черкнутый иррационализм этой пост-ройки опрокинул рационалистические каноны, которые сам Корбюзье ранее исповедовал.
Структурный анализ сакральных сооружений различных религий и сим-волики эзотерических школ показывает наличие в них элементов фрактальных конструкций, в фундаментальной гео-метрической основе которых лежит мо-дифицированный крест. Отсюда следу-ет, что не фрактальные формы явля-ются основой фундаменттальных тех-нологий, а наоборот, фундаменталь-ные эзотерические технологии высту-пают проявлением фрактальной струк-туры информационного поля Вселен-ной. Простота фрактальных алгоритмов и великолепие их форм сделали фрак-
тальную геометрию эффективным сре-дством описания морфологических сво-йств природы и человека.