Іі.5.4. Определение фрактальной размерности крестовых клеточных структур
Выше (см. стр.330) было выведено выражение (1) для определения фрак-тальной размерности различных линей-ных фракталов:
d = ln N / ln( L/u); (1)
Если длину мерного отрезка u при-нять за единицу, то выражение (1) при-обретает вид:
d = ln N / ln L (2), где d – определяемая размерность,
L – число элементов инициатора, принятой для данного преобразования.
N – число единичных отрезков u в
|
|
Рис. ІІ.43. Для определения размерности 5-клеточного креста
|
|
Рис. ІІ.44. Для определения размерности 29-клеточного креста
|
|
Вывод: По мере фракталь- ного расширения квадрата в крестовые структуры его резу-льтаты усложняются, что вы-зывает возрастание дробной мерности по Хаусдорфу-Бези-ковичу.
генераторе данного преобразования;
В нашем случае за единичный отрезок u принята сторона единичного квадра-та, который подвергается «расшире-нию» в крестовую структуру и является бесконечно малым по отношению к бесконечно большому результату бес-конечной по счету итерации.
Если полагать величину размер-ности фрактала как коэффициент за-полняемости его элементами габарит-ного квадрата, то за величину N логич-но принять количество отрезков u как сторон фигуры фрактала, определяю-щего его периметр, а за величину L – количество единиц u в сторонах габа-ритного квадрата.
Рассмотрим определение фракта-льной размерности 5-клеточного кре-ста ( рис. ІІ.43). Для этого в габаритный квадрат ЕКМР, описанный вокруг него, впишем квадрат АВСD, вдоль сторон которого после каждой итерации проис-ходит усложнение граничной линии фрактала.
Так как вершины квадрата АВСD располагаются в серединах сторон ква-драта ЕКМР, то длины его сторон рав-ны половинам диагоналей габаритного квадрата, т.е., АВ=ВС=СD=DА=а 2 / 2, где а – длина L стороны квадрата ЕКМР в единицах измерения u. Тогда периметр квадрата АВСD любого этапа фрактального расширения исходного квадрата будет равен:
R АВСD = 4 а 2 / 2 = 2 а 2.
1. Для 5-клеточного креста (рис. ІІ.43) N =12 – количество его сторон, L=3 – длина стороны габаритного ква-драта. Тогда периметр
R АВСD =23 2 = 6 1,414 = 8,484, а
d =ln12 / ln8,484 =1,3863/1,0395 =1,162.
2. Для 29-клетлчного креста (рис. ІІ.44) N =52, L=9, RАВСD=29 2=25,452,
d = ln52 / ln25,452 = 3,9512 / 3,2365 =
=1,2207.
3. Для 169-клеточного креста :
N =220, L=23 и R АВСD =46 2=65,044,
тогда
d = ln220/ ln65,044=5,3921/4,17506 =
1,2918
4. Для 985-клеточной структуры
N =932, L=57 и R АВСD =257 2=160,388 тогда
d =ln932/ln160,388=6,83633/5,07759 = =1,3465. и т.д.
Іі.5.5. Приложения теории фрактального расширения квадрата
Регулярность и комформность ре-зультатов различных итераций фрак- тального расширения квадрата явля-ются основой для практических при-ложений в различных отраслях народ-ного хозяйства. Эти приложения осно-ваны на материализации геометричес-ких идей этой теории.