Іі.5. Основы теории фрактального расширения и её приложения іі.5.1. Критический анализ существующих положений фрактальной геометрии

Ход исторического развития есте-ствознания в конце ХХ века привел к возникновению теории хаоса, фракта-льной геометрии и синергетики. Дости-жения этих наук раскрыли содержание нелинейных объектов, процессов и яв-лений в природе, имеющих фракталь-ные структуры и обладающих способ-ностью к самоорганизации. Можно ска-зать, что они являются тремя взаимо-связанными подсистемами современ-ной Системы познания мира. Среди них теория хаоса и синергетика носят преи-мущественно вербально-аналитический характер, а его визуализацией зани-мается фрактальная геометрия.

Познавательный интерес к содер-жанию этой новой постевклидовой гео-метрии вызывает ряд вопросов, кото-рые требуют однозначных ответов.

1-й вопрос: (состоит из 3-х подвоп-росов):

1.1. Какое концептуальное простра-нство описывает фрактальная геометр-рия ?

1.2.Какова аксиоматика фракталь-ной геометрии ?

1.3.Каково определение фракталь-ной геометрии ?

Рассуждения по этому поводу.

Принято считать, что геометрией является фундаментальная математи-ческая дисциплина, аксиоматически описывающая геометрические свойства тех частей реального пространства, ко-торые занимают в нем вещественные тела. При этом к числу геометрических относятся позиционные и метрические свойства действительной формы реа-льного объекта. Эти свойства успешно описывает евклидова геометрия. Но в качестве описываемых объектов она принимает материализованные идеа-лизации концептуальных геометричес-

систем взаимосвязанных точек, линий и поверхностей, которые в реальном пространстве в качестве естественных объектов практически не существуют.

Реальное пространство заполнено

объектами природы, не поддающимися

описанию средствами евклидовой гео-

метрии. Поэтому до возникновения ком-пьютерных изобразительных техноло-гий эти объекты изучались морфологи-ческими разделами тех естественных наук, для которых они были предмета-ми исследования. Средством визуали-зации получаемых результатов было рисование с натуры.

Цифровые технологии и компью-терная графика резко расширили поз-навательные возможности человека, в результате чего возникла возможность визуализировать различные аналити-ческие зависимости, описывающие как линейные, так и нелинейные процессы.

В результате визуализации «множеств Жюлиа», которые возникли в рамках так называемой «теории итераций ра-циональных отображений комплексной плоскости», Б.Мандельброт получил их компьютерные изображения, которые натолкнули его на мысль визуализи-ровать квадратичную зависимость Z  Z ² + C, давшую все многообразие его фракталов.

Таким образом, концептуальным пространством гераклитового мира яв-ляется виртуальное компьютерное про-странство, элементами которого явля-ются различные аналитические зави-симости и программное обеспечение их визуализации. Так как эти «элементы» аналитические, то об их геометричес-ких свойствах говорить не приходится, а приходится говорить об особенностях программного обеспечения «самопо-добия» и «масштабной инвариантно-сти» программируемого изображения. Очевидно, эти особенности определя-ются алгоритмами составления про-грамм, которые трудно назвать аксиом-мами.

Таким образом, фрактальная гео-метрия, в традиционном понимании, не имеет своей аксиоматики, так как в её представлении не оговорены элементы фрактального пространства, и не акси-оматизированы отношения и связи ме-

жду ними. Отсутствует определение этой геометрии как фундаментальной

геометрической системы, а в качестве

предмета исследования выступает изо-

бражения фрактала как красивой гра-фической конструкции.

К слову сказать, в природе практи-чески отсутствуют реальные объекты, похожие на подавляющее большинство как линейных, так и нелинейных фрак-талов. В этом отношении она не отли-чается от евклидовой геометрии. Дру-гое дело, что с помощью различных фрактальных мультимедийных техно-логий можно получить реалистичные изображения любых как реальных, так и виртуальных (фантастических) объ-ектов, явлений и процессов, чем, в частности широко пользуются телеви-дение и кинематограф.

Отсюда возможный ответ на 1-й вопрос.: 1.1.Фрактальная геометрия изобразительно моделирует виртуа-льное компьютерное пространство, заполненное программным обеспече-нием визуализации процессов итера-ции линейных и нелинейных анали-тических зависимостей.

1.2. Аксиоматика фрактальной геометрии в авторском исполнении не приведена.

1.3. Определение фрактальной

геометрии как фундаментальной ма-тематической дисциплины в авторс-кой формулировке в его публикациях отсутствует.

Вывод: Фрактальная геометрия Б.Мандельброта парадоксальна так же, как и начертательная геометрия Г.Монжа.

2-й вопрос: 2.1. Как понимать в определении фрактала, данного авто-ром: «фракталом называется струк-тура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому» словосочетание «подобны целому» ?

2.2. Что в структурах рассмо-тренных выше линейных и нелиней-ных фракталов является «целым» и каковы его «части», которые подобны целому и самоподобны друг другу ?