Рассуждения по этому поводу.

Если следовать логике авторского определения фрактала, то «целым» должно быть то, что состоит из «час-тей», т.е., та дробномерная фракталь-ная композиция, которая получается в результате бесконечного количества итераций, подобно преобразующих исходную, довольно простую геометри-ческую фигуру инициатора. Преобразование подобия является разновидностью гомологии при не-собственной оси и собственном центре подобия. Так как таких преобразований бесчисленное множество, то, очевидно, они должны объединяться в группу по-добных преобразований, имеющую свои инварианты, в том числе и графи-ческие. Очевидно, они кодируются про-граммами итерирования, так как части подобны друг другу, но никак не подоб-ны целому. Если во фрактале «сне-жинка Коха» целым считать фигуру са-мой снежинки, то его четырехзвенные самоподобные части-генераторы никак не подобны её «бесконечнозвенной» фигуре. Если считать целым прямоли-нейный инициатор, то он не может состоять из множества ломаных само-подобных генераторов, не образующих фигуру снежинки. Получается парадо-кс, ибо «что присуще целому…, то не присуще части целого, но чтобы поз-нать целое, надо изучить его составные части» [56].

Редким исключением среди рас-смотренных линейных фракталов, у ко-торых чести подобны целому, является «золотая звезда» И.Тугого при условии, что роль «целого» играет центральная пентаграмма или инициатор преобра-зования.

Особое внимание следует обратить на структуру таких фракталов, как «дра-кон» Хартера-Хейтуэя, «колбасу» Минь-ковского и «отель» Гильберта, получа-емых итерациями сдвига, а не подобия.

В итоге полученные фигуры фракталов состоят не из самоподобных, а из кон-груэнтных фигур одного или нескольких типоразмеров. Таким образом, эти и по-добные им «фракталы» не подходят под определение Б. Мандельброта. Впрочем, если считать преобразование сдвига разновидностью подобия с не-собственными центром и осью, то они условно подходят под это определение.

Отсюда возможный ответ на 2-й вопрос: Так как у большинства рас-смотренных фраталов части подоб-

ны друг другу, но не подобны их сово-

Рис. ІІ.31. Отнесение элементов фрактальной картины к внешней системе отсчета

Рис. ІІ.32. Перспективне сокращения как пример самоподобия

купности как целому, то приведенное Б.Мандельбротом определение фрак-тала является некорректным.

Вывод: Если фрактальная гео-метрия парадоксальна, а определение её основного объекта некорректно, то несомненная фрактальность при-роды требует создания её теории, адекватной её содержанию.

3-й вопрос: Что означает слово-сочетание «самоподобие или масш-табная инвариантность (бесконеч-ный скайлинг)»?

Рассуждения по этому поводу

Ответом на этот вопрос является сентенция «…то есть, фракталы на ма-лых масштабах выглядят в среднем так же, как и на больших» [7].

Очевидно, в понятие «фрактально-го» масштаба вкладывается смысл, от-личный от традиционного. Общеприня-то считать, что масштабом изображе-ния является численное значение отно-шения линейных размеров изображе-ния к линейным размерам изображен-ного объекта. В свою очередь, линей-ным размером чего бы то ни было яв-ляется отношение длины натуральной единицы измерения (мм, см, м) или единицы натурального масштаба к дли-не измеряемого отрезка.

Понятие «масштаб» неразрывно связано с понятиями «изображение» и «изображаемый объект» (в традицион-ном понимании). Фрактал, как изобра-жаемый объект, в природе не сущест-вует. Там существуют природные объ-екты, имеющие фрактальную структуру. А фрактал, как изображение, сущест-вует. Но его линейные размеры не с чем сравнивать, (если понимать его как единое целое), так как не существует натуры, структура которой изоморфна структуре этого изображения. Отсюда следует, что изображение фрактала, как единое целое является системой взаимосвязанных частей, самоподобие которых определяется изменением ко-эффициента С в рекуррентном уравне-нии Z Z ² – C нелинейного итераци-онного процесса. Тогда исчезает поня-тие единицы натурального масштаба. Но, так как понятие масштаба, неотъ-емлемое от понятия самоподобия оста-ётся, то в качестве единицы измерения частей фрактала можно принять, до-пустим, его инициатор. Тогда, участвуя в конструктивном процессе итераций этого инициатора, отношение его раз-

мера к размеру связанного с ним гене-ратора сохраняется и поэтому «внут-ренний масштаб» фрагментов фракта-ла есть величина постоянная, опреде-ляемая отношением размеров инициа-тора и генератора. Но, если таким об-разом возникло понятие внутреннего масштаба как постоянной величины, то, очевидно, что для сравнительной оцен-ки различных по своим размерам физи-чески двумерных фрактальных фраг-ментов следует их отнести к системе двух взаимно-перпендикулярных осей декартовых координат, совмещенных с рамкой изображения. (рис. ІІ.31) Тогда самоподобные фрагменты приобретут название закономерно уменьшающихся в стремлении к дробномерному преде-лу или наоборот, закономерно увеличи-вающихся при обратном направлении итерации. В сравнении друг с другом, они будут характеризоваться словами «больший», «меньший». Внешне эта ситуация похожа на перспективу стол-бов вдоль дороги, изображения кото-рых закономерно уменьшаются, стре-мясь к нульмерному пределу в виде точки схода по принципу перспе-ктивных сокращений: «дальше – мень-ше, ближе – больше» ( рис. ІІ.32).

Так как все линейные фракталы практически придуманы их авторами, то нетрудно пополнять их галерею но-выми по их образу и подобию (рис.ІІ.32) или их вариантами (рис. ІІ.29, ІІ.30). К числу варианта «дракона» относится результат итераций генератора как ра-вностороннего прямого угла, образую-щего стороны равнобедренного треу-гольника, основанием которого высту-пает исходный прямолинейный иници-атор (рис. ІІ.29), роль котрого в после-дующих итерациях играют уменьшаю-щиеся стороны генератора. В итоге по-лучается фрактальный «дракон», само-подобно сжимающийся и закономерно усложняющий свою структуру (рис.ІІ.30)

Если вернуться к линейным фрак- талам типа «дракона» Хартера-Хейту-эя (рис. ІІ.7), «колбасы» Миньковского (рис. ІІ.14), и «отеля» Гильберта (рис. ІІ.15), элементы которых не самоподоб-

Рис. ІІ.33. 2 итерации фрактального расширения квадрата

Рис. ІІ.34.Результат третьей

итерации квадрата

Рис. ІІ.35. Результат4-й итерации квадрата (снежинка Ткача-Нифанина)

ны, а конгруэнтны, то их внешний мас-штаб будет совпадать с внутренним и будет величиной постоянной.

Отсюда вариант ответа на 3-й воп-рос: так как изменения размеров частей фрактального изображения как целого определяются изменением параметра С в рекуррентной формуле итерационного процесса, то их вну-тренний масштаб есть величина по-стоянная, а количественная мера их изменения определяется результата-ми их отнесения к внешней системе отсчета.