Navch._posibnuk_Ivaschyk

Існування закону розподілу ймовірностей станів системи дає можливість визначити математичне сподівання корисності при виборі кожної альтернативи. Оптимальною вважається та альтернатива, яка забезпечує екстремальне (min або max) значення математичного сподівання:

∑

{

}

max

m

p

j

V

(

i

j )

, якщо

V

(

i

j )

−прибуток,

a ,S

a ,S

i

j=1

(13.7)

R5 =

i ∑

{

}

min

m

p

j

V

(

i

j )

, якщо

V

(

i

j )

−втрати.

a ,S

a ,S

j=1

Приклад 13.5. Користуючись критерієм Байєса, знайти розв’язок прикладу 13.1, якщо відомі ймовірності станів {0.2; 0.15; 0.3; 0.25; 0.1}.

♦Розв’язування.

Розв’язок задачі представимо таблицею 13.5.

Таблиця 13.5

Альтернатива

a1

a2

a3

a4

a5

pj

	S1			S2			S3			S4			S5
		1			2			3			4			5
i1		p	i2		p	i3		p	i4		p	i5		p
		i1*			i2*			i3*			i4*			i5*
V		V	V		V	V		V	V		V	V		V
4		0,8	2,2		3,3	15		4,5	16		4,0	29		2,9
10		2,0	15		2,25	26		7,8	12		3,0	10		1,0
8		1,6	19		2,85	6		1,8	24		6,0	5		0,5
30		6,0	25		3,75	5		1,5	14		3,5	16		1,6
15		3,0	5		0,75	30		9,0	22		5,5	9		0,9
	0,2		0,15				0,3		0,25			0,1

	min
5	i
∑ p j Vij
j=1
15,5
16,05	← min
12,75	i
16,35
19,15

Отже, оптимальним рішенням є вибір альтернативи а3. ♦

13.6. Критерій мінімуму середнього ризику

Припустимо, що ОПР володіє інформацією про закон розподілу ймовірностей {p j , j =1, m} настання станів системи {S j , j =1, m} і

ставить перед собою завдання мінімізувати середній ризик. У цьому випадку критерій матиме вигляд:

381

	m	maxk	V(ak ,Sj ) −V(ai ,Sj ) , якщо V(ai ,Sj )−прибуток,
m	∑Pj
	j=1			(13.8)
R6 =mini ∑pjW(ai ,Sj )=mini m			k
j=1	∑Pj	V(ai ,Sj )−min V(ak ,Sj ) ,якщо V(ai ,Sj )−витрати.
	j=1		k

Приклад 13.6. Користуючись критерієм мінімуму середнього ризику, знайти розв’язок прикладу 13.1, якщо відомі ймовірності станів {0,2; 0,15; 0,3; 0,25; 0,1}.

♦Розв’язування.

Для розв’язку задачі необхідно мати матрицю величин ризику [W (ai , S j )], значення якої знайдені в прикладі 13.3.

Далі використаємо формулу (13.8) і представимо розв’язок задачі таблицею 13.6.

Отже, оптимальною альтернативою знову буде а3. ♦

13.7. Критерій Ходжеса-Лемана

Критерій Ходжеса-Лемана використовує два суб’єктивних показники: закон розподілу ймовірностей {p j , j =1, m} настання

станів системи {S j , j =1, m} і параметр оптимізму α для критерію

Гурвіца.

Для загального випадку критерій Ходжеса-Лемана визначається виразом:

				m			, якщо	V (ai ,Sj )−прибуток,
	max α∑pjV (ai ,Sj )+(1−α)minV (ai ,Sj )
R7		i		j=1	j			(13.9)
	=			m
							, якщо	V (ai ,Sj )−витрати,
	min α∑pjV (ai ,Sj )+(1−α)maxV (ai ,Sj )
		i		j=1	j

m

де 0≤ α ≤1, 0≤ рj ≤1, ∑pj =1.

j=1

382

383

Приклад 13.7. Користуючись критерієм Ходжеса-Лемана, знайти розв’язок прикладу 13.1, якщо відомі ймовірності станів {0.2; 0.15; 0.3; 0.25; 0.1} та значення «параметрів оптимізму» {0.3; 0.6; 0.8}.Поклавши в основу розрахунків формулу (13.9) і використовуючи результат прикладу 13.5, розв’язок задачі представимо таблицею 13.7.

Альтерн.

a1

a2

a3

a4

a5

Таблиця 13.7

						5
5		( i	j )		α∑ p jV (ai ,S j )+(1−α)maxV (ai ,S j )
∑	j			j		j		1		j
	p V	a ,S		maxV (ai ,S j )		=
j=1
					α=0.3			min	α=0.6	min	α=0.8	min
								i		i		i
	15,5			29	24,95				20,9		18,2
	16,05			26	23,015				20,03		18,4
								min		min		min
	12,75			24	20,625				17,25		15,0
	16,35			30	25,905				21,81		19,08
	19,15			30	26,745				23,49		21,32

Результати отриманих розрахунків у табл. 13.7 за критерієм Ходжеса-Лемана для всіх значень α показують, що оптимальною альтернативою буде а3.

Розглянемо можливі часткові випадки критерію ХоджесаЛемана:

•α=1, отримуємо формулу критерію Байєса;

•α = 0, отримуємо формулу критерію Вальда.

Оцінюючи необхідну початкову інформацію критерію ХоджесаЛемана, можна зробити висновок про ступінь його складності. Основним недоліком розглянутого критерію є те, що в його алгоритмі використовується багато суб’єктивних факторів.

13.8. Питання для самоконтролю

1.Сформулюйте основні причини невизначеності.

2.За допомогою чого задається вхідна інформація при прийнятті рішень в умовах невизначеності?

384

3.Які критерії покладені в основу прийняття рішень в умовах невизначеності?

4.За яких умов використовується критерій Лапласа й на чому він базується ?

5.Опишіть алгоритм використання критерію Вальда для прийняття рішень в умовах невизначеності.

6.Запишіть формулу, яка покладена в основу критерію Севіджа.

7.Між чим і на основі чого встановлює баланс критерій Гурвіца в прийнятті рішень в умовах невизначеності?

8.За яких умов використовується критерій Байєса і яка його розрахункова формула?

9.Запишіть формулу, яка покладена в основу критерію Ходжеса-Лемана.

10.Акціонерне товариство (АТ) випускає молочну продукцію, фасує її в ящики для подальшої реалізації в торгових точках міста. Імовірності того, що попит протягом дня на продукцію буде 5, 6, 7, 8 та 9 ящиків рівні відповідно 0,15, 0,2, 0,35, 0,12, 0,18. Витрати на випуск одного ящика складають 1,25 тис. грн. АТ продає кожен ящик по ціні 2.65 тис. грн. Якщо ящик із сировиною не реалізовується протягом дня, то сировина стає непридатною й товариство не отримує прибутку. Розрахувати оптимальну стратегію випуску продукту.

11.Розв’яжіть приклад 13.1, якщо матриця прибутків буде:

		50	40	80	90	60
		40	80	60	70	75
[V (ai , S j
	)]= 80		100	110	120	70 .
		60	120	100	110
						90
	100		80	90	60	55

385

Глава ІІІ. Економетричні методи та моделі

Розділ 14. Економетричне моделювання: основні поняття та визначення

14.1.Економетрія та її зв’язок із математикостатистичними методами

Ринкові відносини відкривають широкий простір для використання досліджених економетричних методів, які дають можливість не тільки провести кількісні розрахунки, але й вибрати оптимальні прогнозні сценарії дій. Навіть якщо ці сценарії непросто застосовувати, а обмеження моделі у строгому виді не виконуються, вони служать розумною відправною точкою, на яку можна орієнтуватися при прийнятті раціональних рішень.

Економетрія – це самостійна економіко-математична дисципліна, що об’єднує сукупність теоретичних результатів, способів, методів та моделей, призначених для того, щоб на базі економічної теорії, статистики математичної економіки та математико-статистичного інструментарію надавати конкретне кількісне вираження загальним (якісним) закономірностям і прогнозувати результати розвитку складних економічних процесів.

Таким чином, сутність економетрії полягає в синтезі трьох складових: економіки, економічної статистики та математики. Розглядаючи економічну теорію в рамках економетрії, ми будемо цікавитися не просто виявленням об’єктивно існуючих економічних законів і зв’язків між економічними показниками, але і підходами до формалізації, які включають в себе методи специфікацій відповідних моделей із врахуванням проблеми їх ідентифікації. При використанні економічної статистики як складової частини економетрії нас буде цікавити лише аспект пов’язаний з інформаційним забезпеченням аналізованої економетричної моделі. Під математико-статистичним інструментарієм економетрії розуміється, звичайно, не математична статистика в традиційному розумінні, а лише окремі її розділи (регресійний та дисперсійний аналіз, часові ряди, аналіз системи одночасних рівнянь та ін.)

Із визначення економетрії витікає, що її походження і головне призначення – це соціально-економічні застосування та модельний

386

опис існуючих кількісних взаємозв’язків і взаємозалежностей між аналізованими показниками економічних процесів.

Знаходження залежностей та взаємозв’язків між об’єктивно існуючими явищами та процесами економіки має велике значення, що, в свою чергу, дає можливість глибше зрозуміти складний механізм причинно-наслідкових відносин між ними. Сьогодні об’єктивно існуючі залежності та взаємозв’язки між економічними явищами в своїй більшості описані вербально (якісно). Поряд з цим, більш важливим є кількісний вимір причинно-наслідкових зв’язків, властивих випадковим процесам. Для дослідження інтенсивності, виду та форми причинних впливів у середині стохастичних процесів використовуються методи багатомірного статистичного аналізу, серед яких особливу роль відводиться кореляційному і регресійному аналізу. Враховуючи характер явищ, властивих економічним процесам, математичний апарат кореляційно-регресійного аналізу дозволяє створити стохастичні моделі і показати їх перевагу в досліджуваній галузі в порівнянні з детермінованими моделями. Якщо відносно величин, аналізованих у детермінованих моделях, робиться припущення щодо їх стабільності, а випадкові відхилення не враховуються, то в стохастичних моделях враховується випадковий характер показників, і вони оцінюються імовірнісними мірами.

Детермінованими моделями описуються закономірності, які проявляються поодиноко, в кожному окремо взятому елементі сукупності. Зв’язок між причиною та наслідком у закономірностях такого типу може бути виражений достатньо точно у вигляді конкретних математичних формул, систем рівнянь, оскільки певним кількісним значенням впливових чинників (аргументів) завжди відповідають певні значення результативного показника (функції). Такий зв’язок називається функціональним. При функціональній залежності між змінними X та Y кожному можливому значенню хi однозначно ставиться у відповідність значення yi. Функціональну залежність можна записати у вигляді y=f(x) або представити схематично:

x1		y1
:	f	:
:		:
xn		yn

387

Закономірності, які проявляються у масових випадках, тільки при великому числі спостережень, називаються статистичними. Статистичні закономірності причинно обумовлені, існуюча множина причин взаємопов’язана й діє в різних напрямках. У таких умовах важко виявити кількісний зв’язок між причиною і наслідком. Аналітичне вираження статистичних закономірностей визначається методами математичної статистики. Причинно-наслідковий зв’язок, обумовлений одночасною дією багатьох причин і проявляється чітко тільки в масі випадків, називається кореляційним або стохастичним, і він властивий статистичним закономірностям. В економіці часто доводиться мати справу з багатьма явищами, які мають імовірнісний характер. При стохастичній залежності для заданих значень незалежної змінної X можна вказати ряд значень залежної змінної Y, які випадково розсіяні в певному околі. Кожному фіксованому значенню аргументу відповідає певний статистичний розподіл значень функції. Це пов’язано з тим, що на залежну змінну, крім виділеної змінної X, впливає ряд некерованих або неврахованих чинників, а також помилки вимірювання. Оскільки значення залежної змінної підпорядковані випадковому розсіянню, воно не може бути передбачене з достатньою точністю, а тільки вказане з певною ймовірністю. У той же час економічним процесам властиві випадкові відхилення та взаємозв’язки в часі, тому для аналізу комплексу причинно-наслідкових зв’язків використовуються стохастичні моделі. З допомогою цих моделей можна побудувати прогнозні оцінки параметрів функціонування економічних систем у динаміці.

Найбільш відомими методами побудови стохастичних моделей є кореляційний та регресійний аналіз. У прикладних економічних дослідженнях вони виступають саме тим інструментом, який може виявити та оцінити складну множину взаємозв’язків і наслідків.

Результати аналізу проведених досліджень показали, що моделювання економічних процесів з допомогою одного рівняння регресії досить примітивне і недостатнє через існуючу множину причинно-наслідкових взаємозв’язків. Для їх більш адекватного відображення необхідно використовувати систему одночасних рівнянь.

Розглянемо класифікацію задач, які розв’язуються математичним апаратом економетрії, за такими ознаками: кінцеві прикладні цілі, рівень ієрархії та профіль аналізованої економічної системи.

388

За кінцевими прикладними цілями виділимо дві основні задачі:

1)прогноз економічних та соціально-економічних показників, які характеризують стан та розвиток аналізованої системи;

2)імітація різних можливих сценаріїв соціально-економічного розвитку аналізованої системи, коли статистично виявлені взаємозв’язки між характеристиками виробництва, споживання, соціальної та фінансової політики і т.д. використовуються для дослідження того, як можливі зміни параметрів керування виробництва чи розподілу вплинуть на значення вихідних характеристик.

За рівнем ієрархії аналізованої економічної системи виділяються задачі макрорівня, мезорівня та мікрорівня.

У деяких випадках повинен бути визначений профіль економетричного моделювання: дослідження може бути сконцентроване на проблемах ринку, інвестиційній, фінансовій, податковій або соціальній політиці, ціноутворенні, попиті та споживанні, або на певному комплексі проблем.

Розглянемо схему, яка більш повніше визначає економетрію і показує її взаємозв’язок з математико-статистичними та економічними дисциплінами (рис. 14.1.1).

Економетрія

Методи: регресійний аналіз;				Застосування: макрорівень (моделі національної
дисперсійний аналіз;				економіки);
система одночасних рівнянь;				мезорівень (моделі регіональної
статистичні методи				економіки, галузей, секторів);
класифікації та зниження				мікрорівень (моделі поведінки
розмірності.				споживачів, фірм, підприємств).

Економічна теорія (макрота мікроаналіз, математична економіка)

Соціально-економічна	Основи теорії ймовірно-
статистика (інформа-	сті та математичної
ційне забезпечення)	статистики

Джерело базових компонентів економетричної науки

Рис.14.1.1. Економетрія та її зв’язок з іншими дисциплінами

Можна виділити п’ять основних завдань, які розв’язує економетрія.

По-перше, модель має бути специфікована, тобто треба, щоб усі функціональні зв’язки входили до неї у явному вигляді. До цього економетрія може дійти шляхом від простого до складного:

389

починаючи з найпростіших функцій, вводити та перевіряти різні гіпотези і поступово ускладнювати характер функціональних зв’язків, виходячи з реальних даних.

По-друге, завданням економетрії є вибір означення та виміру змінних, які входять до моделі.

По-третє, необхідно оцінити всі невідомі параметри моделей та розрахувати інтервали довіри (інтервали, до яких із заданим ступенем ймовірності потраплятиме обчислена величина).

По-четверте, необхідно оцінити якість побудованих моделей за допомогою різних тестів та критеріїв. Це допомагає остаточно вирішити питання, чи треба змінювати початково обрану модель та деякі теоретичні припущення. Якщо така змінна необхідна, то потрібно проводити нові розрахунки та нове тестування.

По-п’яте, маючи остаточну модель, необхідно провести глибокий аналіз результатів, які планується використовувати на практиці для прийняття рішень.

Беручи до уваги основні завдання, які вирішує економетрія, представимо логічну структуру процесу економетричного моделювання у вигляді такої схеми (рис. 14.2.1)

14.2. Економетрична модель і етапи економетричного моделювання

Основна ідея, на яку ми натрапляємо при дослідженні економіки

– це ідея про взаємозв’язок економічних параметрів. Ринковий попит, який формується на деякий товар, розглядається як функція ціни; витрати, пов’язані з виготовленням якої-небудь продукції, припускаються залежними від обсягів випуску продукції; обсяги податкових надходжень до бюджету можуть бути функцією ставки податку і т.д. Це є приклади зв’язку між двома змінними, одна з яких (попит на товар, виробничі витрати, споживчі витрати, обсяги податкових надходжень) відіграє роль результативного показника, а інші інтерпретуються як пояснювальні (фактори-аргументи), за допомогою яких формується результативний показник.

390