Стійкість розглядаємо по відношенню до вільного руху (визначенню по Ляпунову).

Рішення шукаємо в вигляді:

x=e^St x[k]=z^k (2)

Підставляємо (2) в (1):

A_nz^k-n+A_n-1z^k-n-1+…+A₀z^k

скорочуємо на k

A_nz^-n+A_n-1z^-n+1+…+A₀=0

помножимо на zⁿ

Отримаємо: Характеристичне рівняння г-характеристичне рівняння

a_nSⁿ+…+a₀=0 A₀zⁿ+A₁z^n-1+…+A_n=0

Знаходимо корені:

S_b…,S_n z_I…,z_n

Рішення отримали у вигляді:

X(t)=c₁e^S₁^t+…+c_ne^S_n^t x[k]=c₁z^kT+…+c_nz_n^kt

Г

Площина z-коренів

еометричне представлення коренів:

Необхідна та достатня умова спайності:

Кореві повинні бути"лівими" Корені z- характеристичного

рівняння повинні знаходитись

в середині одиничного кола

(тобто по модулю <1)

* В подальшому для уніфікації позначень будемо записувати z- характеристичне рівняння в вигляді: a_nzⁿ+a_n-1z^n-1+…+a₀=0.

** Пам'ятайте, що коефіцієнті z-характеристнчного рівняння не тотожні S- характеристичному рівнянню безперервної систем, вони пов'язані складними залежностями.

4.5.1.Критерії стійкості ІСАУ

Таким чином як і для безперервних лінійних САУ задача аналізу стійкості звелась до визначення місцезнаходження коренів. Також як і в випадку безперервних систем бажано, не обчислюючи корені, судити про стійкість, тобто мати деякі критерії стійкості.

Для ІСАУ використовуються наступні критерії стійкості:

1) алгебраїчні :

• критерій Шура і Кона;

• іннортні критерії; 2) частотні:

• аналог критерій Михайлова;

• аналог критерій Найквіста;

(Частотні критерії проробити самостійно ! (ТАУ.ч.II. под ред.А.А.Воронова. - М.: Высшая школа.1977, с.73-76)) 3) методи зведення z- площини до S- площини : - метод білінійного перетворення.

4.5.2.Метод білінійного перетворення

Формально метод білінійного перетворення зводяться до виконання наступних операцій:

1) В початковому z- характеристичному рівнянні:

замінимо змінну z на W відповідності з:

Примітка : вочевидь, обернене перетворення нас вигляд:

Після алгебраїчних перетворень отримаємо алгебраїчне рівняння n-ої ступені для змінної W:

2) Якщо корені W- характеристичного рівняння знаходяться в лівій на півплощині то система ІСАУ стійка.

Нам відомо, що необхідна та достатня умова стійкості безперервної САУ - ліві корені характеристичного рівняння. Для перевірки цієї умови існує значна кількість критеріїв стійкості. Тому для перевірки того, чи є корені W- характеристичного рівняння лівими, можна використати будь-які критерії стійкості лінійних безперервних САУ.

Розглянемо змістовий сенс білінійного перетворення.

? Скажіть, як це перетворення зміщує точки на комплексній площині? ?

(Визначте самостійно куди перейдуть точки А(1;0j), А₂( -1;0j), В(0;j), ?

Не важко перевірити, що точки одиничного кола переходять в точки уявної вісі; точки, які лежать всередині кола, - в точки лівої напівплощини; точки, які лежать за межами одиничного кола, - в точки правої напівплощини.

Звичайно, що ліві W- корені при зворотньому білінійному перетворенні виявляться всередині одиничного кола.

Практичний приклад: Як спіймати лева в Сахарі ? (Л-лев. М- мисливець).