Завдання для самостійної проробки:

Використовуючи свої знання з курсу вищої математики, зведіть даний визначений інтеграл до табличного вигляду:

Підставляючи (4) в (3) отримуємо:

( 5 )

де (6)

(7)

Вираз (7) справедливий, якщо А не вироджена

Завдання для самостійної роботи:

Доведіть вираз (7).

Вирази (5), (6), (7) - основа для побудови обчислювальних алгоритмів моделювання і управління.

В частковості вираз для матриць Ф(T) і G(T) можуть обраховуватися рекурентно.

( 8 )

Тут L - кількість доданків в апроксимації G(Т) і Ф(T ).

Формули (8) і (9) (наведені для довідки!) дозволяють поставити задачу оптимізації кроку квантування.

Якісні міркування по вибору Т формулюються наступним чином.

При використанні малих Т для отримання заданої точності в (8) і (9) не вимагається брати більше 1-2 доданків.

Загальні витрати обчислювальних ресурсів (пам'яті, швидкодії) на управління і (або) моделювання ІСАУ складаються з витрат на обчислення G(Т) і Ф(Т) і витрат на обчислення на кожному кроці (наприклад, по формулі (5)). Перша складова зростає зі зростом Т, друга - спадає. Формально, якщо А, В постійні і відомі абсолютно точно, мінімуму обчислювальних витрат відповідає (G(T),Ф(T) — обчислюються в цьому випадку тільки один раз, до початку функціонування системи). Для реальних САУ А і В - змінні, які відомі приблизно, тому немає сенсу брати великі Т, існує 0<Т _опт <.

Завдання для самостійного розв'язку:

1) Спробуйте виконати та оформити в вигляді статті теоретичне і (або) експериментальне дослідження по вибору кроку квантування в ІСАУ для цікавих, на Вашу думку, варіантів точності ідентифікації і характерна зміни А і В.

2) Побудуйте хоча б алгоритми обчислення G(T) і Ф(T) з необхідною точністю.

При достатньо малому Т можна використати мінімальну апроксимацію :

Ф(T)=(І+АT), G(T)=Т

До цього результатa можна прийти і не використовуючи результатів теорії диференційних рівнянь, а просто замінюючи всі похідні в рівняннях динаміки безперервної динамічної системи кінцевими різницями:

замінюємо на

Отримаємо

Для замкненої системи отримаємо:

(порівняйте з безперервною системою:)

Z-Характеристичне рівняння багатомірної сау

1) Некерована САУ

Застосуємо z- перетворення для цього рівняння

Після алгебраїчних перетворень:

Рівняння (10) - в згорнутому виді система лінійних однорідних рівнянь, яка має нетривіальне (≠ 0) рішення, якщо:

det (Iz – ( I+ AT )) = 0

Після розкриття визначника отримаємо поліном від z - шукане характеристичне рівняння.

Аналогічно, отримаємо характеристичне рівняння для керованої САУ:

=(А+ВК) :

det (Iz – (I + AT + BkT ))=0

і спостерігача:

безперервне рівняння:

або

однорідне рівняння:

дискретне рівняння:

характеристичне рівняння:

Укчв, скчв

Як вже говорилося на початку розділу, ІСАУ не є всього лише ерзац-замінювачі, наближенням до безперервних САУ, в них є властивості, які відсутні в безперервних САУ.

Особливість безперервних лінійних САУ з лінійними законами управління по вектору стану - асимптотичність - стан, що встановився (необхідний), досягається за нескінченний час:

X_т

X(t)

X(t)

X_т

t

або

Процеси типу :

X_т

X(t)

X_т

X(t)

для них неможливі.

Для ІСАУ можна так підібрати параметри закону управління: ,що перехідні процеси будуть закінчуватись не більш ніж за n кроків квантування (n - порядок системи).

На жаль, термінологія відстає від технічного прогресу. Регулятори з такими властивостями називають:

• "УКЧВ- регулятор"

• "СКЧВ- спостерігач"

(управління з кінцевим часом встановлення, спостерігач з кінцевим часом встановлення)

• "швидкий регулятор"

• "швидкий спостерігач" (! Не плутайте з швидкодіючим регулятором, спостерігачем).

• "короткий регулятор",

• "аперіодичний регулятор"

і ще більш невдалий термін до цього класу понять і методів відноситься загальновідомий ШПФ (швидкий перетворювач Фур'є).

Спробуйте вигадати більш вдалі терміни.

Розглянемо проблему КЧВ чисто феноменологічно, "поекспериментуємо" з математичною моделлю ІСАУ.

Нехай дана довільна імпульсна динамічна система 7 порядку:

Для послідовності кроків к = 0,1,2,... квантування можемо записати (будемо випускати Т в аргументі):

…

Виключивши проміжні змінні, отримаємо:

В загальному вигляді:

З теорії матриць відомо [Сигорський, Коршунов та ін.], що якщо всі власні числа (тобто корені характеристичного рівняння det(Іג - М)=0, ג1 =0,...,גn =0) , дорівнюють нулю → то Мⁿ =0 (матриця зі всіма нульовими елементами). В частковості, матриці виду:

З наддіагоналлю з "1" та іншими нулями мають нульові власні числа

Спробуйте послідовно помножити таку матрицю саму на себе. Діагональ з одиниць (одиниці взяті для простоти прикладу) буде переміщуватися вправо і нап-ому кроці "зникне":

М=

М²=

М⁷=

М⁶=

Таким чином, якими б не були компоненти вектора не пізніше, чим на п-ому кроці будуть (L ≥ 0).

П

x[n]

ерехідні процеси по компонентам будуть мати вигляд (показані тільки 3 з 7 компонентів, щоб не загромаджувати мал.):

n