4.5.3. Критерій Шура і Кона

Шур і Кон – німецькі вчені математики, які займалися (1900р.) цими, цікавими тоді тільки вузькому колу математиків, проблемами.

Дано: Характеристичне рівняння:

Розв'язок:

1) Будуємо і обчислюємо визначники , деk=, n- порядок системи.

2K –порядок визначника

Матрицю розбиваємо на 4 блоки. Головну діагональ заповнюємо коефіцієнтами а, малі діагоналі (головні діагоналі в блоках II, III) заповнюємо коефіцієнтами а Верхні трикутники в блоках І, III та нижні трикутники в блоках II, IV - трикутники 0. Верхній і нижній трикутники в блоках II, III заповнимо діагоналями коефіцієнтів , а нижній та верхній трикутники блоків І, IV заповнимо діагоналями коефіцієнти .

Побудуємо такі матриці для к=1, к=2, к=3.

к=1

	аn
an	a0

1=

2k=2 1<0

k=2

a0	0	an	an-1
a1	a0	0	an
an	0	a0	a1
an-1	an	0	a0

2=

2k=4 2.>0

k=3

3>0

2) Перевіряємо на стійкість.

Необхідна та достатня умова стійкості: k> 0, якщо k - парне

k< 0, якщо k- не парне.

Завдання для самостійної роботи

Перевірте на стійкість ІСАУ, використовуючи критерій Шура і Кона, якщо характеристичне рівняння має вигляд: а₃z³+a₂z²+a₁z+a₀=0 , де а,=3; a₂=-2; a₁=1; a₀=5.

4. 6. Інорні критерії стійкості

4.6.1.Проблема аналізу стійкості лінійних динамічних систем

З накопиченого нами досвіду можливо зробити деякі узагальнення.

Проблема аналізу стійкості для безперервних і дискретних ЛДС зводиться до проблеми окремих коренів. Загальне формулювання умови стійкості : для стійкості ... САУ необхідно і достатньо, щоб корені відповідного характеристичного рівняння лежали в заданій частині комплексної площини:

для НСАУ - це ліва напівплощини

Для ІАСУ – це одиничне коло

Існують ще задачі, в яких ця область має інший вигляд. Наприклад, цифрові фільтри для зображень, так звані двомірні фільтри. Практичні задачі, які вирішуються такими фільтрами:

1. очистка телевізійних та інших зображень від шумових завад;

2. відновлення "змазаних" знімків і кадрів.

Двомірні фільтри обробляють точки на площині, задані двома координатами. Характеристичне рівняння для таких систем має комплексні коефіцієнти. Деякі з таких фільтрів по-суті подібні спостерігачу. Умова стійкості для них може мати вигляд:

Пошукайте в періодичній літературі роботи по двовимірним фільтрам

перспективна область застосування ЕОМ, яка поширюється, ознайомтесь з ними!

Таким чином - проблема стійкості - це проблема відділення коренів. Чи можливо створити загальні методі для визначення належності коренів довільного алгебраїчного рівняння деякої заданої області ? Чи неможливо узагальнити алгебраїчні критерії Гауса-Гурвиця, Шура-Кона ?

Можливий шлях цього узагальнення - іннорні методи.

Іннори в й теперішньому інженерному вигляді запропоновані відомим американським вченим, професором Каліфорнійського університету в Берклі Е.Джурі в 1960-их роках . Е. Джур і в значному степені спирався на роботи Ерміта (1840р.) , Гурвиця (1870р.), Шура і Кона (1910р.), радянських вчених М.Г.Крейна, М.А.Неймарка (1936р.), Я.З.Ципкіна(1950-1960рр.).