Тема 8: Метод гармонічної лінеаризації (гармонічного балансу). Гармонічний коефіцієнт передачі нелінійного елемента.

Теоретичні відомості

На відміну від розглянутих раніше точних методів до нелінійних систем метод гармонічної лінеаризації, (гармонічного балансу) є наближеним. Ідею цього методу було запропоновано М. М. Криловим і М. М. Боголюбовим у 1934 р.

Метод гармонічної лінеаризації використовується для дослідження автоколивань у нелінійних системах високого порядку, а також для оцінки якості перехідних процесів, зокрема для знаходження параметрів автоколивань A і .

G=0 y(t)

Рис. 8. Структурна схема найпростішої нелінійної САК

Автоколиванням називають стійкі гармонічні коливання, які виникають в нелінійних САК самостійно, без зовнішньої гармонічної дії.

Для пояснення суті гармонічної лінеаризації розглянемо проходження гармонічного сигналу: через нелінійну ланку (рис. 9).

U U

b

0

0

U

Рис. 9.

На виході нелінійної ланки в загальному вигляді створюється періодичний сигнал .

де - амплітуда,– частота автоколивань.

Або якщо розкласти в ряд Фур’є:

Припустимо, що , що справедливо для нелінійних характеристик, симетричних відносно початку координат, для вищої гармоніки (k=1) вираз запишеться у вигляді:

АЧХ першої гармоніки значно більша інших, тобто діє як низькочастотний фільтр, тобто у цьому випадку нижчими гармоніками нехтують.

–коефіцієнти Фур’є першої гармоніки.

Якщо перейти до зображень, то комплексна форма запису сигналів

(зображення Фур’є):

Отже, нелінійна функція при замінюється лінійним виразом, ця операція і називаєтьсягармонічною лінеаризацією.

Гармонічна лінеаризація по суті є наближеною. Вона ґрунтується на таких припущеннях:

1. у системі існують автоколивання;

2. коливання на вході нелінійної ланки є синусоїдальним, тобто лінійна

частина системи виконує функції фільтра основної гармоніки, це припущення прийнято називати гіпотезою фільтра.

Передаточна функція нелінійної ланки буде мати вигляд:

Передаточна функція є передаточною функцією еквівалентної лінійної ланки абогармонічною передаточною функцією нелінійної ланки.

Або гармонічний коефіцієнт передач нелінійного елемента – це відношення зображення Фур’є першої гармоніки вихідного сигналу до зображення вхідного сигналу.

Можливий інший запис, а саме: .

Задача №1. Знайти гармонічний коефіцієнт передачі двопозиційного реле з гістерезисною статичною характеристикою .

В

-С C U

B

U U

B B

-C 0 C

0

-B -B

0 A

З рисунка видно, що , тоді .

Отже гармонічний коефіцієнт передачі двопозиційне резе з гістерезисною статичною характеристикою буде:

Задача №2. Методом гармонічної лінеаризації розрахувати параметри нелінійної системи.

Нехай задана гармонічно лінеаризована система, причому вхідний сигнал G=0.

G E U Y

Застосуємо метод Гольдфарба:

Згідно цього методу .

Лінійна частина системи задана інтегруючою ланкою ат інерційною 1-го порядку:

Задані коефіцієнти: C=4B, B=10B, ,.

Отже маємо:

На комплексній площині будуємо годограф АФЧХ лінійної частини нелінійної системи і обернений гармонічний коефіцієнт передачі при зміні амплітуди від 0 до . Точка перетину двох графіків (-0,39;-0,31j).

Отже амплітуда автоколивань буде А=0,39, а фаза