Стоячие волны.

Часто приходится наблюдать взаимное наложение волн, при этом частицы среды участвуют сразу в нескольких волновых движениях. Опыт показывает, что в этом случае смещение каждой частицы среды является суммой ее смещений, соответствующим всем налагающимся волнам. Явление наложения называется сложением волн. Одним из важнейших примеров такого сложения служит наложение двух плоских волн, бегущих вдоль оси ОХ в среде без затухания в противоположных направлениях с одинаковыми амплитудой и частотой. Кроме того, начало координат выберем в точке, в которой обе волны имеют одинаковую начальную фазу, а отсчет времени начнем с момента, когда начальные фазы обеих волн равны нулю. В этом случае результирующее смещение определяется формулой

Y(x,t) = Asin(wt – kx) + Asin(wt + kx) = 2Asin wt coskx = B(x) sinwt –

- уравнение стоячей волны.

Такое сложение мы можем наблюдать при отражении волн от преград. Падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отраженная, накладываясь друг на друга, дают результирующее колебание, называемое стоячей волной. Колебания струны.

Из уравнения стоячей волны видно, что в каждой точке этой волны происходят колебания той же частоты, что и у встречных волн, причем амплитуда В зависит от координаты х:

В(х) = 2А cos kx = 2Acos2px/l.

В тех точках, где 2px/l = np (n = 0,1,2,...), амплитуда В достигает максимума, равного 2А. Эти точки наз. пучностями стоячей волны.

Координата пучности равна х_n = ±nl/2. В точках, где 2pх/l = ±(n+1/2)p, амплитуда В обращается в нуль. Эти точки называются узлами стоячей волны. Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают. Координаты узлов равны

X_y = ±(n ± ½)l/2.

Из формул для координат узлов и пучностей следует, что расстояние между соседними узлами (так же как и соседними пучностями) равно l/2.

На границе, где происходит отражение волны, может возникнуть узел или пучность, это зависит от соотношения плотностей сред. Если среда, от которой происходит отражение, менее плотная, то в месте отражения возникнет пучность (рис.5а), если более плотная – узел (рис.5б). Образование узла связано с тем, что волна, отражаясь от более плотной среды, меняет фазу на противоположную и у границы происходит сложение колебаний с противоположными фазами, в результате чего получается узел. Если же волна отражается от менее плотной среды, то изменения фазы не происходит и у границы колебания складываются с одинаковыми фазами – образуется пучность.

В случае стоячей волны переноса энергии колебаний нет, так как падающая и отраженная волны одинаковой амплитуды несут одинаковую энергию в противоположных направлениях. Поэтому полная энергия результирующей стоячей волны, заключенной между узловыми точками, остается постоянной.

А

0х

Рис.5.

Эффект Доплера в акустике.

Звуковые волны – механические колебания в определенном интервале частот, распространяющиеся в упругой среде (ν = 16 – 20000 Гц).

Если источник, излучающий звуковые волны с частотой ν₀ = 1/Т₀, и приемник звука (наблюдатель-слушатель) неподвижны относительно среды, в которой распространяются волны, то частота колебаний ν, воспринимаемых приемником, будет равна частоте ν₀ колебаний источника (ν₀ = ν).

Если источник или приемник звука перемещаются относительно среды, то частота ν₀ ≠ ν. Это явление называется эффектом Доплера.

Эффектом Доплера называется изменение частоты колебаний, воспринимаемых приемником, при движении источника этих колебаний и приемника друг относительно друга. Пример: лабораторная работа в БГУ.

Предположим, что источник и приемник звука движутся вдоль соединяющей их прямой, причем скорости V_ист и V_пр положительны при сближении приемника и источника, и отрицательны при их взаимном удалении.

1)Сначала рассмотрим случай, когда приемник приближается к источнику звука, а источник покоится, т.е. V_пр>0, V_ист =0. Тогда скорость распространения волны относительно приемника станет равной V + V_пр. Так как длина волны λ при этом не меняется, то

ν = (V + V_пр)/λ = (V + V_пр)/VT = (V + V_пр) ν₀/V, (*)

т.е. частота колебаний, воспринимаемых приемником, в (V + V_пр)/V раз больше частоты колебаний источника.

2)Источник приближается к приемнику, а приемник покоится, т.е. V_ист >0, V_пр = 0. Поскольку скорость распространения колебаний зависит лишь от упругих свойств среды, поэтому за время, равное периоду колебаний источника, излученная им волна пройдет в направлении к приемнику расстояние VT (равное длине волны λ = VT) независимо от того, движется ли источник или покоится. За это же время источник пройдет в направлении распространения волны расстояние V_истТ (рис.6), т.е. длина волны в направлении движения сократится и станет равной

λ^' = λ - V_истТ = (V – V_ист)Т,

тогда

ν = V/ λ^' = V/(V – V_ист)Т = V ν₀/(V – V_ист), (*)

т.е. частота ν колебаний, воспринимаемых приемником, увеличится в V/(V – V_ист) раз. В первом и втором случаях, если V_ист< 0 и V_пр< 0, знак в формулах (*) будет противоположным.

3)Источник и приемник движутся относительно друг друга. Объединив оба уравнения (*), получим общее выражение для частоты ν, воспринимаемой приемником звука:

ν = (V ± V_пр) ν₀/(V –+ V_ист), (**)

причем, в формуле верхние знаки перед скоростями берутся в том случае, когда векторы скорости приемника и источника направлены в сторону сближения, нижние знаки – в случае взаимного удаления источника и приемника.

Если направления скоростей V_ист и V_пр не совпадают с проходящей через источник и приемник прямой, то вместо этих скоростей в формуле (**) надо брать их проекции на направление этой прямой.

Разновидностью эффекта Доплера является так наз. двойной эф. Доплера – смещение частоты волн при отражении их от движущихся тел, поскольку отражающий объект можно рассматривать сначала как приемник, а затем как переизлучатель волн.

Доплеровский эффект позволяет измерять скорость движения источников излучения или рассеивающих волны объектов (используется в радио- и гидролокации для измерения скорости движущихся целей). В астрофизике эффект Д. используется для определения скорости движения звезд и скорости вращения небесных тел. В спектроскопии доплеровское уширение линий излучения атомов и ионов дает способ неконтактного измерения их температуры.