24. Основные законы релятивистской динамики. Закон взаимосвязи массы и энергии.

Эйнштейн показал, что существует зависимость инертной массы от скорости и это свойство всех материальных тел. Непостоянство массы тела – следствие постулатов теории относительности. Инертная масса движущихся релятивистских частиц зависит от величины их скорости, вернее, от отношения скорости к скорости света:

m = m₀ /√1 – V²/C², (1)

где m₀ – масса покоя частицы, т.е. масса, измеренная в той инерциальной системе отсчета, относительно которой частица находится в покое; m - масса частицы в системе отсчета, относительно которой она движется со скоростью V. Следовательно, масса одной и той же частицы различна в разных инерциальных системах отсчета.

Как следует из (1), с увеличением скорости инерция тела (частицы) растет и при V→ С стремится к бесконечности. Значит ни одно тело при m>0 не может достичь скорости С.

Опыты на ускорителях, где изучались движения быстрых заряженных частиц, скорость которых приближалась к скорости света, убедительно подтвердили зависимость массы от скорости и правильность формулы (1).

Из принципа относительности Эйнштейна, утверждающего инвариантность всех законов природы при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, следует условие инвариантности уравнений физических законов относительно преобразований Лоренца. Основной закон динамики Ньютона

F¯ = dp¯/dt = d(mV¯)/dt

Оказывается также инвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца, если в нем справа стоит производная по времени от релятивистского импульса материальной точки

¯р = m₀V¯/√1 – V²/C².

Основной закон релятивистской динамики материальной точки имеет вид

F¯ = d(m₀V¯/√1 – V²/C²)/dt, (2)

или

F¯ = dp¯/dt, (3)

где ¯р = mV¯ = m₀V¯/√1 – V²/C². (4)

Уравнение (3) внешне совпадает с основным уравнением ньютоновской механики, но в (3) используется релятивистский импульс. Таким образом, уравнение (2) инвариантно по отношению к преобразованиям Лоренца и, следовательно, удовлетворяет принципу относительности Эйнштейна. Следует учитывать, что ни импульс, ни сила не являются инвариантными величинами. Более того, в общем случае ускорение не совпадает по направлению с силой. Сила совпадает с ускорением только в тех случаях, когда она нормальна к скорости или направлена по скорости.

В силу однородности пространства в релятивистской механике выполняется закон сохранения релятивистского импульса: релятивистский импульс замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени

∑¯р = const.

В теории относительности пространство и время органически связаны между собой и образуют единую форму существования материи – пространство-время. Положение материальной точки в теории относительности описывается четырехвектором ¯R. 4-вектором в пространстве-времени считают всякую упорядоченную совокупность четырех чисел, представляющих собой определенные физические величины, чисел, которые изменяются при переходе от одной инерциальной системы к другой в соответствии с лоренцевыми преобразованиями.

Основные определения кинематики и динамики материальной частицы в теории относительности с помощью 4-векторов можно записать следующим образом:

«положение» ¯R,

«скорость» ¯U = d¯R/dt,

«ускорение» ¯W = d¯U/dt, (5)

«импульс» ¯p =m¯U,

«сила» F¯ = dp¯/dt = md¯U/dt = m¯W.

Как видно из приведенных выше формул, все эти определения по форме полностью соответствуют ньютоновой механике, только вместо 4-векторов следует подставить 3-векторы. Законы классической механики получаются как следствие теории относительности для предельного случая V<<С. Классическая механика является некоторым приближением более точной релятивистской механики, которая базируется на постулате независимости скорости света от движения приемника и источника и постулате относительности.

Закон взаимосвязи массы и энергии. Поскольку масса тела растет со скоростью, следовательно, можно предполагать связь массы с кинетической энергией. Найдем кинетическую энергию релятивистской частицы.

Известно, что приращение кинетической энергии материальной точки на элементарном перемещении равно работе силы на этом перемещении:

dT = dA или dT = F·dr. (6)

Учитывая, что dr = Vdt, и подставив в (6) выражение (2), получим

dT = (d/dt)( m₀V¯/√1 – V²/C²) Vdt = ¯Vd(m₀V¯/√1 – V²/C²).

Преобразовав данное выражение, получим

dT = d(m₀ C² /√1 – V²/C²) = C²dm, (7)

т.е. приращение кинетической энергии частицы пропорционально приращению ее массы.

Так как кинетическая энергия покоящейся частицы равна нулю, а ее масса равна массе покоя m₀, то, проинтегрировав (7), получим

T = (m - m₀ )C², (8)

Или кинетическая энергия релятивистской частицы имеет вид

T = m₀C²[1/(√1 – V²/C²) -1]. (9)

А. Эйнштейн обобщил положение (7), предположив, что оно справедливо не только для кинетической энергии частицы, но и для полной энергии частицы,

ΔЕ = С²Δm, (10)

т.е. если инертная масса увеличивается на некоторую величину Δm, то это означает увеличение энергии на С²Δm, и, наоборот, увеличение энергии на ΔЕ какого-либо физического объекта означает увеличение его инертной массы на ΔЕ/С².

Отсюда Эйнштейн пришел к универсальной зависимости между полной энергией тела Е и его массой m:

Е = mC² = m₀C² /(√1 – V²/C²). (11)

Уравнения (10) и (11) выражают фундаментальный закон природы- закон взаимосвязи (пропорциональности) массы и энергии: полная энергия системы равна произведению ее массы на квадрат скорости света в вакууме.

Величину m₀C² = Е₀ называют энергией покоящегося тела. Тогда равенство (9) можно представить так:

Е = Е₀ + Т, (12)

т.е. полная энергия равна сумме кинетической энергии Т и энергии покоя Е₀. В полную энергию Е не входит потенциальная энергия тела во внешнем силовом поле. В классической механике энергия покоя не учитывается, считают, что при V=0 энергия покоящегося тела равна нулю.

Выражение (9) при скоростях V<<С переходит в классическое:

T = m₀V²/2.

Отметим, что уравнение (11) имеет универсальный характер. Оно применимо ко всем видам энергии, например кинетической, потенциальной, электромагнитной и др., т.е. можно утверждать, что с энергией, какой бы формы она ни была, связана масса

m = Е/С² (13)

и, наоборот, со всякой массой связана энергия. Еще в 1905 г. Эйнштейн на простом примере показал, что количество энергии электромагнитного излучения Е обладает инертной массой Е/С². Иногда это называют эквивалентностью массы и энергии.

Чтобы охарактеризовать прочность связи и устойчивость системы каких-либо частиц (например, атомного чдра как системы протонов и нейтронов), вводят понятие энергии связи. Энергия связи системы равна работе, которую необходимо затратить, чтобы разложить эту систему на составные части (например, атомное ядро - на протоны и нейтроны). Энергия связи системы

Е_св = ∑m_0iC² – M₀C², (14)

где m_0i – масса покоя I –й частицы в свободном состоянии, M₀ – масса покоя системы, состоящей из n частиц.

Закон взаимосвязи (пропорциональности) массы и энергии блестяще подтвержден экспериментом о выделении энергии при протекании ядерных реакций. Он широко используется для расчета энергетических эффектов при ядерных реакциях и превращениях элементарных частиц. Особенно показательно в этом отношении явление «аннигиляции» частиц (или «рождения» пары частиц), когда две частицы одинаковой массы, но с противоположными зарядами (например, электрон и позитрон) сталкиваются и их масса «превращается» в энергию электромагнитного излучения. Или лучше сказать так: в соответствии с законом сохранения энергии взаимодействующих частиц энергия перешла в такое количество энергии электромагнитного излучения, которое имеет массу, равную массе сталкивающихся частиц. Опыты атомной и ядерной физики не только подтвердили выводы теории относительности, но многие из них были поставлены на основе выводов этой теории.

Вернемся еще к энергии покоя Е₀, о которой дорелятивистская физика не имела представления. Нагретое тело должно иметь большую массу, чем то же тело, но холодное; сжатая пружина имеет большую массу; вещества, химически прореагировавшие с выделением энергии, будут иметь меньшую массу, и т.п. Но практически такие изменения массы никогда не наблюдались вследствие очень малых относительных изменений массы – величина ΔЕ/С² (где ΔЕ – приращение энергии) обычно ничтожно мала относительно массы m тел. Точность измерений недостаточна для определения таких изменений.

90