2. Длительность событий в разных системах отсчета.

Пусть в некоторой точке с координатой Х, покоящейся относительно системы К, происходит событие, длительность которого (разность показаний часов в конце и начале события) τ = t₂ – t₁, где индексы 1 и 2 соответствуют началу и концу события. Длительность этого же события в системе К^'

τ^' = t^'₂ – t^'₁, (4)

причем началу и концу события, согласно (2), соответствуют

t^'₁ = (t₁ – VX/C²)/√1 – β², t^'₂ = (t₂ – VX/C²)/√1 – β². (5)

Подставляя (5) в (4), получаем

τ^' = (t₂ – t₁)/ √1 – β²,

или

τ^' = τ / √1 – β². (6)

Из соотношения (6) вытекает, что τ< τ^' , т.е. длительность события, происходящего в некоторой точке, наименьшая в той инерциальной системе отсчета, относительно которой эта точка неподвижна. Этот результат может быть еще истолкован следующим образом: интервал времени τ^' , отсчитанный по часам в системе К^', с точки зрения наблюдателя в системе К, продолжительнее интервала τ, отсчитанного по его часам. Следовательно, часы, движущиеся относительно инерциальной системы отсчета, идут медленнее покоящихся часов, т.е. ход часов замедляется в системе отсчета, относительно которой часы движутся, однако это замедление становится заметным лишь при скоростях, близких к скорости распространения света в вакууме. На основании относительности понятий «неподвижная» и «движущаяся» системы соотношения для τ и τ^' обратимы.

В связи с обнаружением релятивистского эффекта замедления хода часов в свое время возникла проблема «парадокса часов» или «парадокса близнецов», вызвавшая многочисленные дискуссии. Совершив полет к звезде и вернувшись на Землю, брат-блезнец будет в 1/ √1 – β² раз более молодым, чем его брат, оставшийся на Земле. В действительности здесь парадокса нет. Дело в том, что принцип относительности утверждает равноправность не всяких систем отсчета, а только инерциальных. Неправильность рассуждения состоит в том, что системы отсчета, связанные с близнецами, не эквивалентны: земная система инерциальна, а корабельная – неинерциальна, поэтому к ним принцип относительности неприменим.

Релятивистский эффект замедления хода часов является совершенно реальным и получил экспериментальное подтверждение при изучении нестабильных, самопроизвольно распадающихся элементарных частиц в опытах с π- мезонами.

3. Длина тел в разных системах отсчета. Рассмотрим стержень, расположенный вдоль оси ОХ^' и покоящийся относительно системы К^'. Длина стержня в системе К^' будет l^'₀ = x^'₂ - x^'₁, где x^'₁ и x^'₂ – не изменяющиеся со временем t^' координаты начала и конца стержня, а индекс 0 показывает, что в системе отсчета К^' стержень покоится. Определим длину этого стержня в системе К, относительно которой он движется со скоростью V. Для этого необходимо измерить координаты его концов х₁ и х₂ в системе К в один и тот же момент времени t. Их разность l = х₂ - х₁ и определяет длину стержня в системе К. Используя преобразование Лоренца (2), получим

l^'₀ = x^'₂ - x^'₁ = (x₂ – Vt)/ (√1 – β² ) - (x₁ – Vt)/ (√1 – β² ) = (x₂ – x₁) / (√1 – β²),

т.е.

l^'₀ =l/ (√1 – β² ). (7)

Таким образом, длина стержня, измеренная в системе, относительно которой он движется, оказывается меньше длины, измеренной в системе, относительно которой стержень покоится. Если стержень покоится в системе К, то, определяя его длину в системе К^', опять-таки придем к выражению (7). В каждой системе отсчета получаем одинаковый результат; относительность длины, как и относительность времени, взаимна.

Из (7) следует, что линейный размер тела, движущегося относительно инерциальной системы отсчета, уменьшается в направлении движения в √(1–β²) раз, т.е так называемое лоренцево сокращение длины тем больше, чем больше скорость движения. Из второго и третьего уравнений преобразований Лоренца (2) следует, что

y^'₂ - y^'₁ = y₂ – y₁ и z^'₂ - z^'₁ = z₂ – z₁,

т.е. поперечные размеры тела не зависят от скорости его движения и одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Таким образом, линейные размеры тела наибольшие в той инерциальной системе отсчета, относительно которой тело покоится.

4. Релятивистский закон сложения скоростей. Рассмотрим движение материальной точки в системе К^', в свою очередь движущейся относительно системы К со скоростью V. Определим скорость этой же точки в системе К. Если в системе К движение точки в каждый момент времени t определяется координатами x, y, z, а в системе К^' в момент времени t^' – координатами x^', y^', z^', то

U_x = dx/dt, U_y = dy/dt, U_z = dz/dt и U^'_x = dx^'/dt^', U^'_y = dy^'/dt^', U^'_z = dz^'/dt^'

представляют собой соответственно проекции на оси x, y, z и x^', y^', z^' вектора скорости рассматриваемой точки относительно систем К и К^'.

Согласно преобразованиям Лоренца (2),

dx = (dx^' + Vdt^') / (√1 – β² ), dy = dy^', dz = dz', dt = (dt^' + Vdx^'/C²)/ (√1 – β² ).

Произведя соответствующие преобразования, получаем релятивистский закон сложения скоростей специальной теории относительности:

К^' → К К → К^'

U_x = (U^'_x + V)/(1 + V U^'_x/C²), U^'_x = (U_x - V)/(1 - V U_x/C²),

U_y = U^'_y (√1 – β²)/(1 + VU^'_x/C²), U^'_y = U_y (√1 – β²)/(1 - VU_x/C²),

U_z = U^'_z (√1 – β²)/(1 + VU^'_x/C²), U^'_z = U_z (√1 – β²)/(1 - VU^'_x/C²). (8)

Если материальная точка движется параллельно оси ОХ, то скорость U относительно системы К совпадает с U_x, а скорость U^' относительно К^'— с U^'_x. Тогда закон сложения скоростей примет вид

U = (U^' + V)/ (1 + VU^'/C²), U^' = (U – V)/ (1 – VU/C²). (9)

Из (8) и (9) видно, что закон преобразования скоростей принципиально отличается от закона сложения скоростей в ньютоновой механике.

Если скорости V, U^' и U малы по сравнению со скоростью С, то формулы (8) и (9) переходят в закон сложения скоростей в классической механике.

Релятивистский закон сложения скоростей подчиняется второму постулату Эйнштейна. Действительно, если U^' = С, то (9) примет вид

U = (C + V)/(1 = CV/C) = C,

Т.е. релятивистский закон сложения скоростей находится в соответствии с постулатами Эйнштейна.

Из (9) следует, что даже если складываемые скорости сколь угодно близки к скорости света С, то их результирующая скорость всегда меньше или равна С. Это получается, если в качестве примера взять случай U^' = V = C и подставить в (9), то получим, что U = С. Таким образом, при сложении скоростей результат не может превысить скорости света в вакуууме. Скорость света в вакууме есть предельная скорость, которую невозможно превысить.

В теории Эйнштейна (четырехмерном пространстве) реальной физической величиной, не зависящей от системы отсчета, т.е. инвариантной по отношению к преобразованиям координат является интервал времени между двумя событиями, такой интервал одинаков во всех инерциальных системах отсчета. Инвариантность интервала означает, что, несмотря на относительность длин и промежутков времени, течение событий носит объективный характер и не зависит от системы отсчета.