2.4. Графическая интерпретация равновесия потребителя

О

Рис.2.10. Положение равновесия потребителя

птимальный набор потребительских благ должен находиться на бюджетной линии и предоставить потребителю наиболее предпочтительное сочетание. Совмещение линии бюджетного ограничения и карты кривых безразличия позволяет определить равновесное положение потребителя, которое достигается в точкеA (рис.2.10), где линия бюджетного ограничения касается кривой безразличия U₂.

Точки B и С пресечения бюджетной линии и кривой безразличия U₁ не могут быть равновесными, т.к. точки на кривой безразличия U₁ обладают меньшей совокупной полезностью, чем точки кривой безразличия U₂. Точки же кривой безразличия. U₃, хотя и обладают большей совокупной полезностью, но лежат за пределами бюджетного ограничения.

В точке А наклоны бюджетной линии и кривой безразличия совпадают. Наклон бюджетной линии равен . Наклон кривой безразличия равен. Это условие можно интерпретировать следующим образом: соотношение, в котором потребитель при данных ценах способен замещать один товар другим равно соотношению, в котором потребитель согласен замещать один товар другим без изменения уровня своего удовлетворения.

Оптимальное решение, представленное на рис.2.10. называют внутренним оптимумом, так как точка А лежит внутри двумерного пространства товаров. Однако в некоторых ситуациях бюджетная линия прямая и кривая безразличия имеют разный наклон на всем их протяжении, и точки их касания не существует. В этом случае оптимальное решение определяется положением, наиболее близким к касанию, и называется угловым. Оно определяется пересечением бюджетной линией, одной из осей координат и кривой безразличия (рис.2.11).

Оптимальный выбор потребителя достигается либо в точке А (рис.2.11, a), если , либо в точкеB (рис.2.11, б), если .

Рис.2.11. Угловое решение задачи выбора потребителя

Задача оптимизации потребителя. Метод множителей Лагранжа (математическое приложение)

В экономике очень часто приходится решать оптимизационные задачи с ограничениями, т.е. нахождение максимума или минимума функции при наличии ограничений на независимые переменные. Аналитически такая задача записывается в виде:

Примером такого типа задач является задача потребительского выбора: максимизировать функцию полезности потребителя при наличии бюджетных ограничений.

Для решения этой задачи воспользуемся методом множителей Лагранжа.

Введем вспомогательный параметр (множитель Лагранжа) и построим новую функцию, которая называется функцией Лагранжа:

.

Необходимые условия экстремума состоят в равенстве в точке экстремума нулю частных производных функции Лагранжа по переменным :

Пусть - решение данной системы. «Укороченная» точкаявляется возможным решением исходной задачи. Необходимо для анализа вычислить значение функции в соседних точках, однако фактически всегда данный метод приводит к правильному решению.

Пример. Пусть потребитель имеет доход I = 24 денежных единиц. Функция полезности потребителя имеет вид , где x1, x2 - потребляемые количества продовольственных и непродовольственных товаров. Их цены соответственно равныи. Какой набор благ выберет потребитель?

Задача потребителя состоит в максимизации целевой функции при бюджетном ограничении. Аналитически это можно представить:

или .

Знак неравенства заменяется на знак равенства, так как максимум полезности достигается, если будет израсходован весь бюджет.

Составим функцию Лагранжа и получим необходимые условия экстремума

Из первого уравнения . Из второго уравнения. Подставим найденныев третье уравнение:. Подставим найденное значениев первое и второе уравнения и получим:.

Таким образом, потребитель выберет и.

2.5. Изменение дохода потребителя и сдвиги бюджетной линии. Кривые «доход-потребление» и типология экономических благ. Сдвиги кривой индивидуального спроса. Кривые Энгеля. Кривая «цена-потребление». Построение кривой индивидуального спроса

Решив задачу оптимального выбора потребителя можно найти количества товаров X и Y, максимизирующие полезность потребителя при данном бюджетном ограничении. Эти количества (X* и Y* – координаты точки оптимума потребителя) отражают спрос потребителя на указанные товары. Определим характер зависимости спроса, проследив динамику изменения спроса на товар при изменении цен и дохода. Рассмотрим две пары кривых: «доход-потребление» и кривая Энгеля; «цена – потребление» и кривая спроса. Кривые, образующие каждую из пар, строятся по одним и тем же данным и дают одну и ту же информацию в отношении спроса на товар, но в разных формах.