22. Интегрирование по частям и замена переменных в неопределённом интеграле.

Интег. по частям — один из способов нахожд. интеграла. Суть метода: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произвед. двух непр. и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедлива следующая формула для неопределённого интеграла:

Для упрощения вычисления интеграла часто удобно выполнить замену переменной. Переход от x к новой переменной u описывается выражением

где x = g (u) - подстановка. Соответственно, обратная функция u = g −1(x) описывает зависимость новой переменной от старой.

дифф. dx должен быть заменен на дифф. новой переменной du. Для опред. инт., необход. также измен.пределы интегр-ния.

23. Опред. Интеграл. Осн. Свойства опред. Интеграла.

Определенный интеграл - это функция, производная от которой дает подынтегральную функцию. ОИ ф-цииy=f(x) на отрезкеназ-ся предел инт-ых сумм.

Свойства:

Свойства определённого интеграла:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. , то

6. 

7. 

8. ,, то

9. ф-янепрерывна на отрезке,,то на этом отрезке сущ. хотя бы одна точка,такая, что

10. −янепрерывна и,то имеет место равенствоФ-яназ. определённым интегралом с переменным верхним пределом.

24 Теорема Ньютона-Лейбница.

Теорема: Опред. интеграл от непрерывной ф-ции равен разности значений любой ее первообразной для верхнего и нижнего предела интегрирования. Формула Ньютона-Лейбница связывает неопред и опред интегралы. Если ф-цияy=f(x) непрерывна на отрезке,а ф-цияF(x)-какая-либо ее первообразная (т.е.F’(x)=f(x)), то. Эта формула сводит нахождение опрединтегр к нахождению неопрединтегр. РазностьF(b)-F(a) обозначаетсяF.

25.Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Метод замены переменной

Пусть функция у = f(х) непрерывна на отрезке [a,b], а функцияx=φ(t), определена на отрезке [α, β] и имеют на нем непрерывную производную, причем φ (α) = а, φ (β) =bи для всех. Тогда

Метод интегрирования по частям

Если функции u=u(x),v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a,b], то справедлива формула

Доказательство.

Поскольку функция u(x)v(x) – первообразная для функцииu’(x)v(x) +u(x)v’(x), то

откуда и следует формулакоторую можно записать в виде

Формула интегрирования по частям для определённого интеграла. Если u(x), v(x) - непрерывно дифференцируемые функции, то .

Необходимое условие интегрируемости.

Если функция интегрируема на отрезке, то она ограничена на нем.

Необходимое и дост. усл. интегрируемости.

Для того, чтобы ограниченная на некотором отрезке функция была интегрируема на нем необходимо и достаточно, чтобы lim∣τ∣→0(Sτ−sτ)=0

26.Площадь плоской фигуры. Объем тела вращения.

площадь Sкриволинейной трапецииabAB, ограниченной кривойy=f(x),f(x)0

осью Oxи двумя прямымиx=ax=b, вычисляется по формуле

y

y=f(x)

а

b

x

A

B

Если плоская фигура ABCDограничена прямымиx=a,x=b(a<b) и кривымиy=f(x)y=φ(x), причем φ(x)≤f(x),a≤x≤b,то ее площадь вычисляется по формуле

y

x

A

B

C

D

y=φ(x)

y=f(x)

Объем тела, образованного вращением кривой y=f(x), ограниченной прямыми х = а,x=bприa<x<bвокруг оси Ох, вычисляется по формуле:

Объем тела, образованного вашей кривой у = φ(у), ограниченной прямымиy=c,y=dприc<y<dвокруг осиOy, вычисляется по формуле:

Центральный угол — это угол, образованный двумя радиусами. Длина дуги, описываемой концом радиуса, пропорциональна величине соответствующего центрального угла. Центральный угол дуги измеряется градусами. Для измерения градусами - целая окружность имеет 360°. Длина дуги

p=2π r n\360=π r n\180