37. Числовые ряды, частные суммы числовых рядов.

-числовой ряд.

Среди числ. рядов выделяют знакопостоянные, знакочередующиеся, знакопеременные.

Частичной суммой рядасоответсв. номеруnназ. суммаnпервых его слагаемых.

- частичная сумма.

Ряд a_nназ. сходящимся, если последовательность частичных сумм для этого ряда имеет предел, т.е. если сущ-т число. Это число наз.суммой ряда.

38. Признаки сходимости ряда

Пусть задана бесконечная последовательность чисел . Выражение.  наз-ют числовым рядом. При этом числа наз. членами ряда.

Числовой ряд часто записывают в виде.Теорема (необходимый признак сходимости ряда):если ряд сходится, то его n-й член стремится к нулю при неограниченном возрастании n.

Следствие. Если n-й член ряда не стремится к нулю при , то ряд расходится.

Признак Даламбера— признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г.

Если для числового рядасуществует такое числоq, что 0<q<1, ичто, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство, то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера– абсолютно расходится.

39. Теоремы о сходимости числовых рядов.

Определение.Частной суммой числового ряданазываетсясумма. Числовой ряд называетсясходящимся, если существует предел, при этомS называется суммой ряда.

Теорема.Числовой ряд  сходится тогда и только тогда, когда для любогосуществует такое, что для всехm,n><.

Доказательство.

Заметим, что . После этого утверждение превращается в критерий Коши сходимости последовательности.

Теорема.

Если ряд сходится, то.

Доказательство.

Из свойств пределов следует, что . Отсюда следует, что.

40. Эталонные ряды для установления сходимости

Геометрический ряд

Обобщеный гармонический ряд 

В частности, при к=1 получаем гармонический ряд 

Эталонные ряды, т.е. разложения элементарных функций, можно использовать для получения рядов тех же функций, но сложного аргумента.

41. Функциональные ряды, степенные ряды, ряды Тейлора и Маклорена

Пусть функции Un(x),n∈N, определены в области D. Выражение U₁(x) + U₂(x) +… + U_n(x)+…= U_n(x), где х∈D, наз. функциональным рядом. Каждому значению x₀∈D соответствует числовой ряд U_n(x₀). Этот ряд может быть сходящимся или расходящимся. Если для x₀∈D числовой ряд U_n(x₀) сходится, то говорят, чтo функциональный ряд сходится в точке x₀, и точку x₀ наз. точкой сходимости.Если функциональный ряд сходится в каждой точке x∈E⊂D, то этот ряд наз. сходящимся на множестве Е, а множество Е наз. областью сходимости ряда. Если множествоЕ пусто, то ряд расходится в каждой точке множества D.

Областью сходимостистепенного ряда называется множество всех значений переменной х , при которых соответствующий числовой ряд сходится. Ряд вида а₀+ а₁х + а₂х²+ … а_nхⁿ+ … =называетсястепенным рядом, а – некот. числа, х – переменная.

Коэффициентами степенного ряда называются числа а₀, а₁, … , а_n.

Формулой Тейлорадля функцииf(x) в окрестности точки х называется многочлен Р_n(х) =f(х₀) +Остаточным членом формулы Тейлора называется последнее слагаемое в формуле Тейлора

R_n(x)==f(x) –P_n(x)

Т.о., многочлен Тейлора Р_n(х) служит приближением функцииf(х). Оценкой этого приближения служит остаточный член формулы ТейлораR_n(х).

Формулой Маклоренадля функцииf(х) называется ее формула Тейлора при х₀= 0:f(x)=f(0) +

где с – некоторая точка из интервала (0, х).