33. Полный дифференциал ф-й 2-х переменных.

y(x+∆x)-y(x)≈y ‘(x)∆x

z(x+h,y+k)-z(x,y)=z(x+h,y+k)-z(x+h,y)+z(x+h,y)-z(x,y)=[dz(x+h,y)/dy]*k+[dz(x,y)/dx]*h≈--дифференциал ф-й 2х переменных.

. (1)

Если приращение (1) можно представить в

виде , (2)ГдеАи В не зависят от, аистремятся к нулю при стремлении к нулю, то функцияназываетсядифференцируемойв точке, а линейная частьприращения функции (т.е. та частькоторая зависит отилинейно) называетсяполным дифференциалом(или простодифференциалом) этой функции в точкеи обозначается символомdz.

dz = (3)

Из определения дифференцируемости функции следует, что если данная функция дифференцируема в точке, то она в этой точке непрерывна.

Действительно, если в точке функциядифференцируема, то для этой точкипредставимо в форме (2), откуда следует, что, а это и означает, что в точкефункциянепрерывна.

Из дифференцируемости функции в данной точке следует существование ее частных производных в этой точке (необходимое условие дифференцируемости).

Теорема(достаточное условие дифференц-сти).Если функцияимеет частные производные в некоторой окрестности точкии эти производные непрерывны в самой точке, то эта функция дифференцируема в точке.

34. Частные производные высших порядков.

Производные второго и более высокого порядков наз. произв-ми высших порядков.

Пусть f ’(x)– производная первого порядка ф-иf(x).Производной второго порядкаф-иf(x)наз. производная от ф-иf ’(x), если она сущ-т. Обозначается вторая произв-яf ’’(x).

Производную от второй производной наз. производной третьего порядка ф-иf(x)и обозначаютf ’’’(x).

Произв-я n-гопорядка явл-сяпроизв-й от произв-й(n-1)-гопорядка. Она обозначаетсяf⁽ⁿ⁾(x).

35. Независимость частных производных от порядка дифференцирования.

36. Метод наименьших квадратов.

При обработке опытных данных часто встречаются с задачей об определении параметров функциональной зависимости между переменными величинами xиyпосредством формулыy=f(x).Эта задача решается с помощью метода наименьших квадратов, сущность которого состоит в следующем. При измерении двух величинxиyполучены следующие данные:

x	Х1	X2	…	xn
y	Y1	Y2	…	yn

Известен также вид функциональной зависимости, т.е.

y=f(x,,,…,)=φ(x),гдеf-заданная функция;,,…,— параметры, значения которых требуется определить. Значения у, полученные из формулы (1) при заданных значениях (i=1, 2,..., п), как правило, не совпадают с экспериментальными значениями,приведенными в указанной таблице, т.е. разность -φ() отлична от нуля для всех или некоторых точек(i = 1, 2, ..., n). Для каждого i эту разность обозначим через ε, и назовемпогрешностью:-φ()=ε(i = 1, 2,..., п)

Значения параметров (k= 0, 1,..., m) функции (1) тре­буется выбрать так, чтобы сумма квадратов погрешностей была наименьшей, т.е. так, чтобы функция

u=ε=(-φ())принимала наименьшее значение. Поскольку эта функция - сумма квадратов некоторых чисел, она принимает неотрицательные значении (каждое слагаемое суммы неотрицательно).

Функция (3) является функцией т+1переменых ,,..., а_т,т.е.

и=и(,, ...., а_т)=(-f(,,,…,))² (4).

Если функция и=и(,..., а_т) имеет непрерывные частные производные по всем переменным, то необходимое условие ее минимума выражается системой уравнений

=0,=0, …,=0 (5)

Из этой системы т +1 уравнений находятся искомые значения пара­метров a₀,a₁ ,...,a_m.

Во многих случаях функция (1) определяется формулой

y=(x), (6)

где (x),(x),..., f_т ( x )- известные функции, например, f(x)=x,f(x)=sinkx, f(x)=coskx и т.д.

Функция (4) в таких случаях принимает вид

u=y-())(7),

а система (5) запишется так:

(-())(-())=0(-())(-())=0(8)

…………………………………….

(-())(-())=0

Решение этой системы может быть получено с помощью метода Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных).

Если (x)=(k = 0, 1, 2,..., m), то

f(x,,,…,)=+x++…+

+(9)

и система (8) принимает вид:

n++…+

=;

++…+=; (10)

++…+*

*=.