42.Теорема Абеля о сходимости степенного ряда:

а) Если степенной ряд сходится при некотором значении х=х₀≠0, то он сходится

Абсолютно при всех значениях х , таких что │х│< │х₀│;

б) Если степенной ряд расходится при х = х₁, то он расходится при всех значениях х , таких что │х│> │х₁│.

43.Разложение основных элементарных функций.

Теорема Если функция f(x) определена и  имеет производные сколь угодно высоких порядков и существует  постоянная, такая, что при лю­бых х и п удовлетворяет неравенству,  то функция f(x) разлагается в ряд Тейлора при любом x₀.

44. Показательная и тригонометрическая функция комплексной переменной, их связь

Показательную функцию комплексного переменного w=e^zопределим равенством e^z= e^(x+iy) = e^x(cosy +isiny).

Справедлива след.формула Эйлера e^iy= cosy +isiny.

Используя тождество Эйлера, получаем показательную форму для представления любого комплексного числа z = r (cos + sin) в виде: z = re^i.

Фун-я w = e^zопределена на всей комплексной плоскости и на действительной оси совпадает с соответ. фун-ей действительного переменного.

Св-ва:

1) e^z1e^z2 = e^z1+z2

2) e^z0, т.к. |e^z | = e^x0

3) e^zпериодическая с периодом T=2i, т.е. e^z+= e^z

Тригонометрические ф-ииsinz и cosz определим через показательную фун-ю по формулам Эйлера

и cosz=

Св-ва:

При z=x,sinzиcoszсовпадают с тригонометрическимифун-миsinxиcosxдействительной переменнойx.

Выполняются основные тригонометрические отношения.

sinzиcoszпериодические фун-ии с основным периодом

sinz-нечетнаяфун-я,cosz-четная ф-я.

Могут принимать любые знач-я, а не только ограниченные по модулю единицей.

45. Ряд Фурье. Коэффициенты ряда Фурье. Сходимость рядов Фурье.

РядФурье — представление произвольной функции f с периодом T в виде ряда

Этот ряд может быть также записан в виде

Где — амплитуда k-го гармонического колебания,

 — круговая частота гармонического колебания,— начальная фаза k-го колебания,— k-я комплексная амплитуда

Фурье коэффициенты

Kоэффициенты        

        разложения функции f (x), имеющей период 2T, в ряд Фурье. Формулы (*) называют формулами Эйлера — Фурье. Непрерывная функция f (x) однозначно определяется своими коэффициентами Фурье. Ф. к. интегрируемой функции f (x) стремятся к нулю при n → ∞, причём скорость их убывания зависит от дифференциальных свойств функции f (x).

Сходимость ряда Фурье, явление Гиббса.Если функция  f(x) кусочно-гладкая на отрезке [-π;π] , то ее тригонометрический ряд Фурье сходится в каждой точке этого отрезка. При этом, если - сумма ряда Фурье, то для любогоx принадлеж. [-π;π],  . Т.е., еслиF(x) непрерывна в точке  x0, то  S(x0)=f(xo). Если в точке x0 у    f(x) разрыв первого рода, то ряд Фурье сходится к среднеарифметическому левого и правого пределов функции в точке  x0. В окрестности точек непрерывности функции  f(x) разность между значением функции в точке и значением частичной суммы ряда в этой точке стремится к нулю при  , что полностью соответствует теории, поскольку в этом случае. В окрестности точек разрываf(x) частичные суммы ряда Фурье ведут себя иначе. Эта особенность поведения частичных сумм Фурье в окрестности точек разрыва называется явлением Гиббса. Оно состоит в том, что для некоторых функций в точке ее скачка   x0   существуют такие значения    a, что