46. Дифференциальные уравнения (основные понятия)

Дифференциальным уравнением наз-ся уравнение относительно неизвестной ф-ии и ее производных различных порядков.Порядком дифференциального урав.назыв-ся порядок старшей производной ,входящей в это уравнение.

Решением диф.ур-ния порядка nназ-ся функцияy(x), имеющая на некот.интервале (a,b) производные

 до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием.

В зависимости от комбинаций производных, функций, независимых переменных дифференциальные уравнения подразделяются на линейные и нелинейные, с постоянными или переменными коэффициентами, однородные или неоднородные.

Решения дифференциальных уравнений подразделяются на общие и частные решения. Общие решения включают в себя неопределенные постоянные, а для уравнений в частных приозводных — произвольные функции от независимых переменных, которые могут быть уточнены из дополнительных условий интегрирования (начальных условий для обыкновенных дифференциальных уравнений, начальных и граничных условий для уравнений в частных производных). После определения вида указанных постоянных и неопределенных функций решения становятся частными.

47. Дифференциальныеур-я 1-го порядка с разделяющимися переменными:

Дифференциальным уравнением 1-го порядка с разделяющимися переменныминазывается уравнение вида:P(x)dx+Q(y)dy=0 (1). Его общим интегралом будет:(2). Уравнение вида:M₁(x)·N₁(y)dx+M₂(x)·M₂(y)dy=0 (3), а также уравнение вида:y'=f₁(x)·f₂(y)(4) уравнения, которые с пом. алгебраических преобразований приводятся к ур-ям (3) или (4) наз.ур-ми с разделяющимися переменными.Рассмотрим ур-е (3). Допустим, чтоN₁(y)·M₂(x)≠0. Разделим обе части ур-я (3) наN₁(y)·M₂(x). Получим:,

Рассмотрим ур-е (4):Домножим обе части ур-я наdxи разделим наf₂(y) в предположении, чтоf₂(y)≠0.

– общий интеграл.

Замечание: При выводе общих интегралов ур-ий (3) и (4) сделаем нек. допущения, к-е могут привести к потере решений. Случай, когдаM₁(y)·M₂(x)=0 илиf₂(y)=0 необходимо рассматривать отдельно, чтобы не потерять возможных решений дифференциальных ур-ий.

48. Однородные дифференциальные уравнения

Однородное дифференциальное уравнениеможет быть записано в видеили

где ,-однородные функции одной и той же степени, т.е. для некоторого натурального числаkи для произвольногосправедливы равенства

Для решения однородного дифференциального уравнениянеобходимо сделать замену переменных, которая сводитоднородное дифференциальное уравнениекдифференциальному уравнению с разделяющимися переменными.

49. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

 Уравнение

                       наз. линейным дифференциальным уравнениемn-го порядка с постоянными коэффициентами;  a_k - постоянные вещественные числа.  Если  функция f(x)  не равна тождественно нулю, то иногда говорят, что  уравнение с правой частью. 

 Уравнение

наз. линейным  однородным  дифференциальным ур-го порядка с постоянными коэффициентами;  a_k - постоянные вещественные числа.  Т. к.  функция f(x)  равна тождественно нулю, то иногда говорят, чтоур-ние без правой части. 

Уравнение     наз.характеристическимур-ем, а его корни – характер-ми числамиуравнения. 

 Система функций

  наз. линейно независимой в интервале  (a,b), если тождество   (- постоянные числа)

 может выполняться только когда все c_k=0. Если к  тому же каждая из функций   y_k явл. частным решением однородного уравнения , то система решений одно-родного ур-ния наз.  фундамент. системой решений