2. Дисперсионный анализ данных наблюдений

2.1. Общие сведения

Во время эксперимента для каждого объекта часто можно измерить (получить) значения нескольких признаков. В итоге получается многомерная выборка.

Смысл обработки многомерных выборок заключается в установлении связи между признаками. Для этого их делят на факторные и результативные. Факторный признак вызывает изменение других, связанных с ним, признаков. Результативный признак изменяется под действием факторных признаков.

Признаки могут быть количественными и качественными. Качественный признак - признак, характеризующий некоторое свойство или состояние наблюдаемой единицы выборки. Количественным признаком является признак, значения которого выражаются числами.

Для учета в расчетах качественных признаков необходимо их ранжировать. Например, местоположение объекта можно учитывать, присвоив следующие номера:

• центр города – 4;

• вблизи центра – 3;

• середина города – 2;

• окраина – 1.

Дисперсионный анализ предназначен для количественного исследования влияния факторных признаков на результативный признак в случае малых выборок. В зависимости от количества факторных признаков дисперсионный анализ называют однофакторным или многофакторным.

Методы дисперсионного анализа позволяют формировать единую базу данных объектов-аналогов и оценивать величину влияния конкретных факторов на исследуемый результативный признак.

2.2. Однофакторный дисперсионный анализ

Для сравнения влияния факторов на результативный признак необходим определенный статистический материал – каждому уровню фактора должна соответствовать определенная выборка значений результативного признака. Статистический материал удобно представлять в виде таблицы 2.1.

Т а б л и ц а 2.1

Матрица экспериментов для однофакторного анализа

Уровни фактора	Номер выборки
	1	2	…
Значения результативного признака	…	…		…
Объем выборки

Общее число наблюдений .

Прежде чем судить о количественном влиянии фактора, необходимо установить наличие такого влияния. Возможно, расхождение значений результативного признака для различных уровней фактора объясняется действием чистой случайности.

На статистическом языке это предположение означает проверку однородности всех выборок таблицы 2.1, т.е. проверку принадлежности всех значений результативного признака одной генеральной совокупности. Основной процедурой дисперсионного анализа является проверка этой гипотезы с помощью статистических критериев.

Основная идея однофакторного дисперсионного анализа заключается в сравнении дисперсии исследуемого признака, вызванной действием фактора, с дисперсией ошибок измерения этого признака. Если различие между ними значимо, то фактор оказывает существенное влияние на исследуемый признак.

Пусть фактор имеетразличных уровней, на каждом из которых выполненонаблюдений. Следовательно, наблюдалосьзначенийпризнака (свойства), где- номер наблюдения (),- номер уровня фактора ().

Дисперсионный анализ основан на предположении об однородности рядов измерений, нормальном распределении и независимости этих рядов.

Чем существеннее влияние фактора на признак , тем сильней будут различаться между собой средние значения групп наблюдений на разных уровнях фактора.

Существуют понятия:

• общая сумма квадратов - сумма квадратов отклонений всех возможных значений признака от их общего среднего значения

; (2.1)

• сумма квадратов между группами или по факторам - взвешенная сумма квадратов отклонений средних значений по группам от общего среднего значения

; (2.2)

• сумма квадратов внутри групп - сумма квадратов отклонений возможных значений признака каждой группы (уровня фактора) от среднего значения этой группы

, (2.3)

где - соответственно среднее значение группы и общее среднее значение результативного признака, определяемые по формулам

. (2.4)

Для оценки влияния фактора следует разложить общую сумму квадратов на составляющие: сумму квадратов между группами (по факторам) и сумму квадратов внутри групп. Следовательно,

. (2.5)

Сумма отражает влияние на результативный признак уровней фактора, а сумма- влияние погрешностей измерений. Так как, то суммуназывают еще остаточной суммой квадратов.

Суммы квадратов ,,, деленные на соответствующие числа степеней свободы, дают три несмещенные оценки дисперсиигенеральной совокупности:

; (2.6)

(2.7)

(2.8)

Первая оценка называется общей оценкой дисперсии (или выборочной дисперсией), вторая – оценкой дисперсии по факторам (оценкой дисперсии между группами или факторной дисперсией) и третья – остаточной оценкой дисперсии (оценкой дисперсии внутри групп или остаточной дисперсией).

Число степеней свободы представляет собой число независимых отклонений значений признака от его среднего значения. Сумма имеет=степень свободы, так как изотклонений групповых средних от общей средней независимых будет (), а последнее отклонение выражается через все предыдущие. Суммаимеет=() () степеней свободы, так как вычисляется по отклонениямнаблюдений отсредних. Число степеней свободы проверяется путем сложения тем же способом, что и сумма квадратов (2.5), т.е.=.

Если факторная дисперсия окажется меньше остаточной, то фактор оказывает несущественное влияние на признак.

Проверка значимости оценок дисперсии выполняется с помощью – критерия Фишера, расчетное значение которого определяется дисперсионным отношением

=/при>. (2.9)

Если расчетное значение критерия окажется меньше критического, то нет оснований считать, что рассматриваемый фактор влияет на изменчивость средних значений случайной величины. Если , то на принятом уровне значимости делается вывод о существенном влиянии факторана признак.

После того как выполнена оценка влияния фактора на изменчивость средних значений случайной величины в целом и установлено, что фактор влияет на изменчивость средних значений, то переходят к подробному исследованию отдельных уровней фактора. Для этого проводится оценка расхождения средних значений, полученных при наблюдениях по отдельным уровням фактора.

Для сравнения двух выборочных средних используют - статистику. Вычисляют общую дисперсию двух выборок и расчетное значение- статистики по формулам:

(2.10)

. (2.11)

Критическое значение - статистики определяется с помощью статистической функции СТЬЮДРАСПОБР. Число степеней свободы. Гипотеза о равенстве выборочных средних подтверждается, если. Если, то уровень фактора с большим средним значением оказывает существенное влияние на исследуемый признак.

Рассмотрим методику однофакторного дисперсионного анализа и возможные результаты на конкретных примерах.

Пример 2.1 [5]. Две группы дилеров продают автомобили, которые рекламируются соответственно рекламами и. Третья группа дилеров работает без рекламы. В каждой группе задействовано по 4 дилера. Таким образом,=3,=4.

В таблице 2.2 приведено количество автомобилей, которые проданы различными группами дилеров.

Т а б л и ц а 2.2

Сводка исходных данных

Дилер	Реклама А	Реклама В	Рекламы нет
1	51	62	42
2	52	64	48
3	56	68	50
4	57	70	52

Требуется определить влияние двух видов рекламы на объем продаж автомобилей.

Результаты расчета в среде ЭТ приведены в таблице 2.3., расчетные формулы – в таблице 2.4.

Для пояснения методики однофакторного дисперсионного анализа выполнен контрольный расчет.