Студентам ИТ / 2 УПП_ИТ / Основн_литература / ИТ (Excel) / ИТ_автоматич_управл

Таблица 2.1.2

x(t)
1. k x(t)	k X(z)
2. x1(t) + x2(t)	X1(z) + X2(z)
3. x(t+ t)	z X(z) – z x(0)
4. t x(t)	– t z d X(z) / dz
5. exp(–at) x(t)	X[z exp(at)]
6. x(0), начальное значение	lim X(z) при z
7. x( ), конечное значение	lim(z–1)X(z) при z 1, если
	все полюсы (z–1)X(z) находят-
	ся внутри единичной окруж-
	ности z = 1 на z-плоскости

Передаточная функция разомкнутой дискретной системы.

Передаточная функция разомкнутой дискретной системы в z-области определяется по z-преобразованиям входного X(z) и выходного Y(z) сигналов

G(z)	Y (z)	.	(2.1.7)
	X (z)

Пример 2.1.2. Пусть разомкнутая дискретная система состоит из последовательно соединенных экстраполятора нулевого порядка (см. рис. 2.1.4) с передаточной функцией G0(s) (см. 2.1.1) и ТО с передаточной функцией GТO(s) = 1/ s (s+1), как показано на рис. 2.1.7.

x(t)			x*(t)		p(t)		y(t)
				Фиксатор		ТО
				G0(s)		GТO(s)
		t = 1 c

Рис. 2.1.7

Требуется найти отклик системы на единичный импульс-

ный входной сигнал x(t) = (t) (функцию Дирака) при t = 1 c. Передаточная функция по Лапласу данной системы равна

G(s) = G0(s) GТO(s) = [1–exp(–s t)] / s2 (s + 1) =

= [1–exp(–s t)] [(1/s2) + (1/s) + 1/(s+1)]. (2.1.8)

Выбирая из таблицы 2.1.1 z-преобразование для каждого из слагаемых (2.1.8), получим

51

G(z) = Z{[1–exp(–s t)] [(1/s2) – (1/s) + 1/(s+1)]} =

= (1– z-1) Z{[(1/s2) – (1/s) + 1/(s+1)]} =

(2.1.9)

=

z 1

[

tz

z

z

] =

(z 1)2

1

z

z

z

exp( t)

=

[z exp( t) z tz] [1 exp( t) t exp( t)]

.

(z 1)[z exp( t)]

Поскольку t = 1, то

G(z) =

0,3678z 0,2644

.

(2.1.10)

z2 1,3678z 0,3678

Так, как X(z) = 1, то Y(z) = G(z). Поделим числитель (2.1.10)

на его знаменатель

0,3678z 0,2644

z2 1,3678z 0,3678

0,3678z 0,5031 0,1353z-1

0,3678z 1

0,7675z 2

0,9145z 3 .

0,7675 0,1353z 1

0,7675 1,0497z-1

0,2823z 2

0,9145z 1 0,2823z 2

Следовательно,

Y(z) = 0,3678 z-1 + 0,7675 z-2 + 0,9145 z-3 + …

(2.1.11)

Таким образом, на выходе системы в дискретные моменты времени (раз в секунду) будут появляться следующие значения:

y(0) = 0; y(1) = 0, 3678; y(2) = 0, 7675; y(3) = 0, 9145.

Передаточная функция замкнутой дискретной системы.

На рис. 2.1.8 показана замкнутая схема рассмотренной ранее разомкнутой цифровой системы (показаны некие условные ключи, работающие синхронно с экстраполятором).

x(t)	X(z) E(z)		Y(z)
	+		G(z)
		-

Y(z)

Рис. 2.1.8

52

Передаточная функция такой системы равна

	G(z)
П(z) =	1 G(z) .	(2.1.12)

Пример 2.1.3. Пусть передаточная функция G(z) рассмотренной на рис. 2.1.8 замкнутой дискретной системы описывается выражением (2.1.10), как в примере 2.1.2. Требуется найти передаточную функцию П(z) замкнутой дискретной системы, а также

– ее переходную характеристику, т.е. реакцию на единич-

ную ступеньку x(t) = (t) (функцию Хевисайда). Подставляя (2.1.10) в (2.1.12), найдем

	П(z) =		0,3678z 0,2644			.			(2.1.13)
			z2 1,3678z 0,3678
	Так как z-преобразования функции Хевисайда равно X(z) =
	= z/(z–1), то
			0,3678z 0,2644			z			0,3678z2 0,2644z	.
	Y (z) z2 1,3678z 0,3678 z 1 z3								2z2 1,6322z 0,6322

Произведя деление числителя на знаменатель по алгоритму, рассмотренному в примере 2.1.3, получим

Y(z) = 0,3678 z-1 + z-2 + 1,4z-3 +1,4z-4 + 1,147 z-5 + … (2.1.14)

Таким образом, на выходе замкнутой системы в дискретные моменты времени (раз в секунду) будут появляться следующие значения:

y(0) = 0; y(1) = 0, 3678; y(2) = 1; y(3) = 1,4; y(4) = 1,4; y(5) = 1,147.

2.2. Анализ устойчивости дискретных систем.

Линейная непрерывная система с обратной связью устойчива, если все полюсы ее передаточной функции П(s) расположены в левой половине s-плоскости (см. рис. 1.3.1 на стр. 21).

Z-плоскость и s-плоскость связаны преобразованием

z = exp(s t) = exp[( + j ) t].	(2.2.1)
Отсюда следует, что
z = exp( t) и arg z = t.	(2.2.2)

В левой половине s-плоскости < 0, поэтому 0 z 1. Конформное отображение (2.2.1) переводит мнимую ось s- плоскости в единичную окружность на z-плоскости, а область

53

внутри этой окружности соответствует всей левой половине s- плоскости.

Замкнутая дискретная система устойчива, если все полюсы ее передаточной функции П(z) расположены на z-плоскости внутри единичной окружности.

Пример 2.2.1. Рассмотрим систему, изображенную на рис. 2.1.8, где

G(z) =	K (0,3678z 0,2644)	,	(2.2.3)
	z2 1,3678z 0,3678

a K – коэффициент усиления регулятора.

Поскольку знаменатель передаточной функции П(z) замкнутой системы равен 1+ G(z), то ее характеристическое уравнение имеет вид

q(z) = 1+ G(z) = z2–[1,3678–0,3678K]z +0,3678+0,2644K = 0.

При K = 1 получим q(z) = z2 – z +0,6322 =

= (z – 0,50 + j0,6182)(z – 0,50 – j0,6182) = 0.

Так как оба корня расположены внутри единичной окружности, то система устойчива.

Если K = 10, то

q(z) = z2 + 2,310z +3,012 =

=(z + 1,155 + j1,295)(z + 1,155 – j1,295) = 0,

исистема неустойчива.

Дискретная система второго порядка может стать неустойчивой при увеличении коэффициента усиления, тогда как непрерывная система второго порядка устойчива при любых значениях коэффициента усиления, если оба ее полюса находятся в левой половине s-плоскости.

2.3. Реализация цифровых регуляторов.

Рассмотрим непрерывный ПИД-регулятор с передаточной функцией (см. 1.6.6 стр. 42)

	Gp	(s)	U (s)	K1	K2	K3s .	(2.3.1)
			E(s)		s

Цифровую реализацию этого регулятора можно получить, если использовать дискретную аппроксимацию операций диф-

54

ференцирования и интегрирования. Для производной по времени воспользуемся правилом правой разности (см. 1.2.5 стр. 17)

u(k t)

de

1

{e[k t] e[(k 1) t] .

(2.3.2)

t k t

dt

t

Применив к (2.3.2) z-преобразование, получим

U (z)

(1 z 1 )

E(z)

z 1

E(z) .

(2.3.3)

t

t z

Операцию интегрирования аппроксимируем с помощью

формулы прямоугольников

u(k t) u[(k 1) t] t e(k t) ,

(2.3.4)

где u(k t) – выход интегратора в момент t

= k t. Применив к

(2.3.4) z-преобразование, получим

U (z) z 1U (z) tE(z) , или U (z)

tE(z) .

(2.3.5)

z 1

Таким образом, передаточная функция цифрового ПИД-

регулятора имеет вид

G (z) K K

t z

z 1

.

(2.3.6)

P

1

2

z -1

t z

Применим к (2.3.6) обратное z-преобразование и получим разностное уравнение, описывающее алгоритм работы цифрового ПИД-регулятора

u(k) = K1 e(k) + K2 [u(k–1) + t e(k)] +			K3	[e(k) – e(k–1)] =
			t
= K2 u(k–1) + [K1 + K2 t +	K3	] e(k) –			K3	e(k–1). (2.3.7)
	t				t

Вычисление по уравнению (2.3.7) легко выполнить с помощью компьютера.

2.4. Модели систем в переменных состояния.

Широкое применение цифровых компьютеров побуждает рассматривать и описывать системы управления во временной области. Соответствующие методы являются более мощными по сравнению с рассмотренным выше методом преобразования Лапласа для анализа линейных систем управления с постоянными параметрами, т.к. могут быть применены к нелинейным, не-

55

стационарным и многомерным системам. Нестационарная си-

стема управления – это система, в которой один или более параметров являются функциями времени.

Переменные состояния динамической системы.

Предположим, что система управления описывается дифференциальным уравнением второго порядка

B d2y(t) /dt2 + C dy(t) /dt + D y(t) = x(t).

(2.4.1)

Выберем в качестве переменных состояния координату y(t) и скорость ее изменения dy(t)/dt. Введем обозначения этих переменных

y1(t) = y(t),	(2.4.2)
y2(t) = dy(t)/dt.

Тогда вместо дифференциального уравнения (2.1.1) второго порядка можно рассматривать систему дифференциальных уравнений первого порядка

dy1(t) /dt =	0 y1(t) +	y2(t),	(2.4.3)
dy2(t) /dt = – (D/B) y1(t) – (C/B) y2(t) + (1/B) x(t).

Эти уравнения описывают поведение системы в терминах скорости изменения каждой переменной состояния. Более того,

переменные состояния описывают поведение системы в будущем, если известны текущие состояния, внешние воздействия и уравнения динамики системы.

В общем случае состояние системы описывается дифференциальными уравнениями первого порядка относительно каждой из переменных состояния

x 1 = a11 x1 + a12 x2 + … +a1n xn + b11u1 + b12u2 +…+ b1mum ,

x 2 = a21 x1 + a22 x2 + … +a2n xn + b21u1 + b22u2 +…+ b2mum ,

……………………………………………………………. ,

x n = an1 x1 + an2 x2 + … +ann xn + bn1u1 + bn2u2 +…+ bnmum ,

где x = dx(t)/dt. Эту же систему дифференциальных уравнений можно записать в матричной форме

	x1		a11
d	x2		a21
dt .			.
	xn		an1

a12 a22

.

an2

. a1n

. a2n

. .

. ann

x1			b11
x
2
.			b21
			b
			n1
xn

или более компактном виде

56

. b1m

. b2m

. bnm

u1		,
.
u
m

x' Ax Bu ,

(2.4.4)

используя векторы-столбцы x и u, а также матрицы A = [anm] и

B= [bnm].

Вобщем случае выходные сигналы линейной системы свя-

заны с переменными состояния и входными сигналами уравнением вида

y = Cx + Du,

(2.4.5)

где y – совокупность выходных сигналов, представленных век- тором-столбцом.

Пример 2.4.1. Запишем уравнение состояния для RLC цепи, изображенной на рис. 2.4.1.

iL

	u(t)		uC(t)				L				uR(t)
						C		R
Генератор
					iC
тока

Рис. 2.4.1

Введем обозначения переменных состояния x1 = uC , а x2 = iL. Тогда, на основании уравнений Кирхгофа для токов, получим

dx1(t) /dt =	0 x1(t) –			1		x2(t) +	1	u(t),	(2.4.5)
							C
				C
dx2(t) /dt =	1	x1(t) –		R	x2(t).
	L			L
Выходной сигнал равен
y1(t) = uR(t) = R x2(t).									(2.4.6)

Таким образом, уравнение состояния в векторной форме имеет вид

0

x 1L

	1		1
	C
		x C u(t) , y(t) = [0 R] x(t).				(2.4.7)
	R
			0
	L

57

Общий вид решения уравнения состояния.

Решение дифференциального уравнения состояния (2.4.4) можно получить точно также, как решается скалярное дифференциальное уравнение первого порядка. Рассмотрим уравнение

dx(t) /dt = a x(t) + b u(t).

(2.4.8)

Преобразуя (2.4.8) по Лапласу, получим

s X(s) – x(0) = a X(s) + b U(s).

(2.4.9)

Следовательно

X (s)

x(0)

b

U (s) .

(2.4.10)

s a

s a

Обратное преобразование Лапласа (2.4.10) дает решение

x(t) = eat x(0) t ea(t )bu( )d .

(2.4.11)

0

Применим преобразование Лапласа к уравнению (2.4.4) и

сгруппируем его члены

X (s) [sI - A] 1 x(0) [sI - A] 1 BU(s) .

(2.4.12)

Обратное преобразование Лапласа (2.4.12) дает решение

x(t) = eAt x(0) t eA(t ) Bu( )d , где

(2.4.13)

0

eAt 1 At

AA

t2

AAA

t3 ...

Ak

tk

... .

2!

3!

k!

Матричная экспоненциальная функция Ф(t) = [ mk(t)] = = exp(At) с элементами mk(t) называется фундаментальной матрицей или переходной матрицей состояния.

Для свободного движения, когда u(t) = 0, решение (2.4.13) имеет простой вид

x1 (t)				11(t)			12 (t) .
	x (t)					(t)			(t) .
	2				21			22
.				.				.	.
	x (t)					(t)			(t) .
					n1			n2
	n

1n (t) x1 (0)
		(t) x		(0)		(2.4.14)
	2n		2		.
	.			.
nn (t)
			xn	(0)

58

Из (2.4.14) видно, что элемент mk(t) представляет собой реакцию m-ой переменной состояния на начальное значение k-ой переменной состояния при условии, что начальные значения всех остальных переменных состояния равны нулю.

Дискретный способ вычисления временных характеристик.

Если ввести аппроксимацию производной
	dx		x(t t) x(t)	,	(2.4.15)
	dt		t

при разбиении времени t на малые отрезки t, а также использовать дискретизацию времени t = k t по целочисленным отсчетам k = 0, 1, 2, … , то уравнение (2.4.4) можно записать в рекурсивной форме

x(k+1) (I + t A) x(k) + t B u(k).

(2.4.16)

Точность решения уравнения (2.4.16) повышается с уменьшением t.

Метод дискретизации уравнения состояния оказывается чрезвычайно полезным при вычислении временных характеристик нелинейных систем. В этом случае уравнение состояния имеет общий вид

	f ( x, u,t) ,
x		(2.4.17)

где f есть функция вектора состояния x и вектора входа u. Используя (2.4.15) легко получить

x(k+1) = x(k) + t f[x(k), u(k), k].

(2.4.18)

2.5.Идентификация и устойчивость дискретных моделей линейных систем.

Предположим, что наблюдается некоторый дискретный сигнал yn. Рассмотрим его дискретную модель

	0
yn = a10 yn-1 + a20 yn-2 + a30 yn-3 + xk n k z + hn ,
	k L
n = 0, 1, 2, …, N–1.	(2.5.1)

В данной модели предполагается, что входной сигнал системы

59

0

xn,z = xk n k z k L

имеет некоторую задержку z и описывается набором L импуль-

сов n с неизвестными амплитудами xn, также подлежащими идентификации.

Будем считать, что помеха hn имеет нормальный гауссовый характер и некоррелирована (см. Модуль 1).

Будем искать параметры a10, a20, a30 и xn дискретноразностной динамической модели (2.51) методом наименьших квадратов, минимизируя энергию помехи

N	N
СКО = hn2 =
	[yn	– a1	yn-1 – a2 yn-2 – a3		yn-3 –
n 1	n 1
	0
–	xk n k z ]2			min.	(2.5.2)

k L

Тогда, из условия ОШ/ aij = ОШ/ xk = 0, получим следующую систему 3-х линейных уравнений для оценивания па-

раметров динамической модели

Z11	a1	+ Z12 a2 + Z13 a3	= R1,				(2.5.3)
Z21 a1 + Z22 a2 + Z23 a3 = R2,
Z31	a1	+ Z32 a2 + Z33 a3	= R3,	где
		N	0
Z11	= yn 1 yn - 1 –					=	(2.5.4)
			y		y
		n 1	k L	k z - 1		k z - 1

= (y0 y0 + y1 y1 +…+ yN-1 yN-1) – (yz-1 yz-1 + yz-2 yz-2 +…+ yz-L-1 yz-L-1),

N	0
Z12 = yn 1 yn - 2 –				=
	y	k z - 1	y
n 1	k L			k z - 2

= (y1 y0 + y2 y1 +…+ yN-1 yN-2) – (yz-1 yz-2 + yz-2 yz-3 +…+ yz-L-1 yz-L-2),

N	0
Z13 = yn 1 yn-3 –				=
	y	k z-1	y
n 1	k L			k z-3

= (y2 y0 + y3 y1 +…+ yN-1 yN-3) – (yz-1 yz-3 + yz-2 yz-4 +…+ yz-L-1 yz-L-3),

N	0
Z21 = yn 2 yn - 1 –				= Z12,
	y	k z - 2	y
n 1	k L			k z - 1

60