Основні теоретичні факти.

Нехай на площині задані точки та і. Розглянемо геометричне місце точок площини, модуль різниці відстаней від кожної з яких до точок та є сталою величиною, яка дорівнює заданому числу 2а.

Будемо вважати, що . Якщо, то шукане геометричне місце точок утворювало б два промені, які доповнюють відрізокF₁F₂ до прямої. Якщо , то шукана множина точок буде порожньою, що випливає з нерівності трикутника. Очевидно також, щоa>0 При а=0 ми розглядали б точки, рівновіддалені від точок F₁ та F₂, тобто серединний перпендикуляр до відрізка F₁F₂.

Означення. Множина всіх точок площини, модуль різниці відстаней від кожної з яких до двох фіксованих точок та є сталою величиною, меншою від довжини відрізка, називаєтьсягіперболою.

Точки F₁(c;0) та F₂(-c;0), називаються фокусами гіперболи. Вибравши прямокутну декартову систему координат так, як показано на рис.1, рівняння гіперболи отримуємо у виді

() (1)

Одержане співвідношення називають канонічним рівнянням гіперболи.

Відрізки та називають фокальними радіусами точки М. Для довільної точки М(x; y) гіперболи ,при, а дляx<0 ,.

Аналізуючи рівняння (1) можна встановити, що точки гіперболи розташовані в півплощинах, які задаються нерівностями та, а також, що вона симетрична відносно початку координат та координатних осей.

Гіпербола перетинає тільки одну із координатних осей, а саме вісь у двох точках:та. Ці точки називаютьвершинами гіперболи, а відрізок –їїдійсною віссю. Вісь гіпербола не перетинає, оскільки рівнянняне має розв’язків. Відрізок, де точкитарозташовані на осіна відстанівід осі, називаютьуявною віссю. Число називаютьдійсною, а число -уявною піввіссю гіперболи. Центр симетрії гіперболи (точку ) називаютьцентром гіперболи.

Гіперболу зображено на рис. 2.

Прямі , які використовувались при її зображенні, єасимптотами гіперболи.

Гіпербола, півосі якої рівні (), називаєтьсярівносторонньою. Її канонічне рівняння має вигляд . У новій системі координат, осі якої співпадають із асимптотами, які у даному випадку є перпендикулярними, рівносторонню гіперболу можна задати рівнянням. Її графік буде графіком функції оберненої пропорційності.

Параметричні рівняння гіперболи можна задати у вигляді рівностей

, ,,

де (гіперболічний косинус),(гіперболічний синус). Можливі також інші варіанти параметричного задання гіперболи, наприклад,

, ,.

Для побудови точок гіперболи можна скористатися наступним прийомом. Будуємо коло довільного радіуса з центром у точці та коло з центром у точці, радіус якого набільший за радіус попереднього кола. Очевидно, що точки перетину побудованих кіл будуть належати гіперболі, оскільки відстані від них до центрів кіл відрізняються на.

Число називаютьексцентриситетом гіперболи. Для гіперболи , отже,. Для гіперболи, тому. Якщо, то, тобто асимптоти утворюють з віссюОх все менший кут: гіпербола стискається до осі Ох. Якщо , то. У цьому випадку кут між асимптотами прямує до розгорнутого, а гіпербола стає все більш “витягнутою” вздовж осі.

Прямі називають директрисами гіперболи. Для гіперболи , тому, отже, дані прямі не перетинають лінію. Будемо називати директрисуd відповідною фокусу F, якщо вони лежать в одній півплощині відносно осі .

Теорема. Відношення відстаней від довільної точки гіперболи до фокуса та до відповідної директриси є стала величина, що дорівнює ексцентриситету.

Сформульоване вище твердження називають директоріальною властивістю гіперболи.

Рівняння дотичної до гіперболи :у точцізаписується у виді.

Серед різних властивостей гіперболи особливу роль, враховуючи застосування, відводять так званій оптичній властивості.

Оптична властивість гіперболи. Промені світла, що виходять із фокуса дзеркальної гіперболи та відбиваються від неї, поширюються по прямих, що проходять через другий фокус.