Приклади розв’язання задач.

Задача 1. Встановити, яку лінію задає рівняння . У випадку лінії другого порядку визначити її ексцентриситет та відстань від фокуса до відповідної директриси.

Розв’язання. Виконаємо наступні перетворення:

.

Тепер очевидно, що рівняння , де, визначає гіперболу з ексцентриситетом, для якої відстаньвід фокуса до відповідної директриси дорівнює 4. Той факт, що задане рівняння визначає гіперболу можна було встановити без перетворень виразу, оскільки його знаменникна проміжку (-перетворюється в нуль у двох точках. Заміна, виконана нами в процесі перетворень, означає перехід до нової полярної системи координат із тим же полюсом та новою полярною віссю, одержаною поворотом попередньої осі навколо полюса на кут

Задача 2. Знайти канонічне рівняння гіперболи .

Розв’язання. Використовуючи рівності (2), дістаємо , звідки, позбувшись ірраціональності, отримуємо рівняння. Вводячи заміну, дістаємо шукану відповідь у виді рівняння.

Задача 3. Знайти рівняння лемніскати Бернуллі. Так називають геометричне місце точок площини, добуток відстаней від кожної з яких до двох фіксованих точок тає сталою величиною і дорівнює.

Розв’язання. Нехай . Виберемо полюсомсередину цього відрізка та спрямуємо полярну вісь по променю(рис. 12). Нехай точканалежить шуканій множині. Тоді з трикутниківтаза теоремою косинусів отримаємо

,

.

Тому

або

,

звідки після очевидних перетворень дістаємо

Відповідь. .

Задачі для самостійного розв’язання.

1. Знайти відстань між точками:

1) та;

2) та.

2. Обчислити площу трикутника з вершинами:

1) ,та;

2) ,та.

3. Обчисліть довжини півосей і відстань між фокусами еліпса, заданого в полярній системі координат рівнянням . Вважаємо, що за полюс прийнято фокус, а за полярну вісь –промінь, де– інший фокус еліпса.

4. Знайдіть канонічні рівняння еліпсів, заданих в полярній системі координат рівняннями:

1) ,

2) .

5. Знайдіть рівняння еліпсів ів полярній системі координат, якщо полюс розміщено у фокусі, а за полярну вісь прийнято промінь, де–інший фокус еліпса.

6. Обчисліть довжини півосей, відстань між фокусами та кут між асимптотами гіперболи, заданої в полярній системі координат рівнянням . Вважаємо, що за полюс прийнято фокус, а за полярну вісь –промінь, де– інший фокус гіперболи.

7. Знайдіть канонічні рівняння гіпербол, заданих в полярній системі координат рівняннями:

1) , 2).

8. Знайдіть рівняння гіпербол ів полярній системі координат, якщо полюс розміщено в правому фокусі, а за полярну вісь прийнято промінь, де– інший фокус гіперболи. Знайдіть також полярні рівняння асимптот і директрис заданих гіпербол.

9. В кожному з наступних випадків скласти канонічне рівняння параболи, заданої в полярній системі координат рівністю:

1) 2) .

Передбачається, що полюсом вибрано фокус параболи, а за полярну вісь - вісь симетрії, спрямовану від директриси до фокуса.

10. Знайти декартові координати вершини параболи

1) 2) .

11. Написати рівняння парабол: