Основні теоретичні факти.

Розглянемо на площині довільну пряму d та точку F, розташовану на деякій відстані p від даної прямої.

Означення. Множина всіх точок площини, рівновіддалених від даної прямої d та даної точки F, називається параболою.

Точку F називають фокусом параболи, а пряму d – директрисою.

Введемо прямокутну декартову систему координат, провівши вісь Ох через точку F перпендикулярно до прямої d та вибравши за початок координат середину відрізка, який сполучає точку F із прямою d (рис. 1). Тоді координати фокуса будуть , рівняння прямоїd запишеться, як , а рівняння параболи матиме вид

. (1)

Відрізок MF називають фокальним радіусом точки М, яка належить параболі. Число p називають фокальним параметром параболи, а рівняння (1) – її канонічним рівнянням. Очевидно, що парабола – лінія другого порядку. Пряму, що співпадає з віссю , називаютьвіссю параболи. Вісь параболи є її віссю симетрії.

Параметричні рівняння парболи можна задати у вигляді .

Враховуючи директоріальні властивості еліпса та гіперболи, згідно з якими відношення відстаней від їх довільної точки до фокуса та до відповідної директриси є стала величина, що дорівнює ексцентриситету, ексцентриситет параболи приймають рівним 1.

Співвідношення єрівнянням дотичної до параболи у заданій на ній точці .

Оптична властивість параболи. Промені світла, які виходять із фокуса дзеркальної параболи та відбиваються від неї, поширюються по променях, які паралельні до осі параболи.

Приклади розв’язання задач.

Задача 1. Скласти рівняння геометричного місця точок площини, рівновіддалених від прямої та точки.

Розв’язання. Нехай М(x; y) – одна із точок шуканого геометричного місця точок. Тоді відстань від неї до прямої d буде рівна . Оскільки відстань між точкамиM та F дорівнює , то, згідно із умовою задачі, виконується рівність=, перетворюючи яку дістаємо

,

або

.

Оскільки вірні перетворення і у зворотному порядку, то одержане співвідношення є рівнянням шуканої множини точок. Відмітимо, що одержане рівняння є рівняння лінії другого порядку, а також, що дана лінія є парабола (згідно з означенням параболи).

Відповідь. .

Задача 2. Скласти рівняння геометричного місця центрів кіл, які дотикаються до осі та до кола.

Розв’язання. Нехай точка належить шуканій множині точок (рис. 2). Тоді відстань від неї до осібуде рівна, а відстань від неї до центра заданого кола (точки) дорівнюватиме. Оскільки радіус заданого кола рівний 2, а змінного кола, то виконується рівність

=+2.

Перетворюючи одержане рівняння та враховуючи те, що за змістом задачі , дістаємо, звідки, або. Із одержаного рівняння робимо висновок, що шукана множина точок утворює параболу.

Відповідь. Парабола .

Задача 3. Знайти геометричне місце центрів кіл, які дотикаються до заданого кола та прямої, що його не перетинає.

Розв’язання. Шуканим ГМТ є парабола із фокусом у центрі даного кола, віссю, що перпендикулярна заданій прямій, та вершиною, розташованою на осі на однаковій відстані до прямої та до кола (рис. 3).

Доведення випливає з того, що точки шуканої множини (одною з таких точок на рисунку є точка ) рівновіддалені від центра колата прямої, проведеної паралельно до даної прямоїі розташованої від центра кола на відстані набільшій, ніж задана пряма (- радіус кола).

Задача 4. Скласти рівняння геометричного місця точок площини, з яких параболу видно під прямим кутом.

Розв’язання.Нехай точка належить шуканому геометричному місцю точок (рис. 4). Запишемо рівняння пучка прямих з центром у цій точціта виберемо кутові коефіцієнтитатак, щоб пряміібули перпендикулярними та дотикалися до параболи. Для цього розглянемо систему рівняньта вимагатимемо, щоб вона мала єдиний розв’язок. У квадратному відносно змінноїрівнянні, вимагаємо, щоб його дискримінант дорівнював 0. Після спрощень отримуємо рівність, яка повинна виконуватися для обох коефіцієнтівта. Оскільки із умови перпендикулярності дотичних маємо, то дістаємо систему, а з неї співвідношення, яке виконується тільки тоді, коли. Оскільки абсциса точкимає стале значення, то шуканим геометричним місцем точок буде пряма. Очевидно, що вона є директрисою параболи.