Приклади розв’язання задач.

Задача 1. Скласти рівняння гіперболи, яка проходить через фокуси еліпса , якщо її фокуси розташовані у вершинах еліпса.

Розв’язання. Нехай рівняння шуканої гіперболи записано у виді і відстань між її фокусами дорівнює, тобто. Згідно з умовою задачі відстань між вершинами гіперболиі відстань між її фокусами. Із системи рівняньзнаходимо,.

Відповідь. .

Задача 2. Скласти канонічне рівняння гіперболи, якщо кут між її асимптотами дорівнює , а відстань між директрисами.

Розв’язання. Нехай рівняння шуканої гіперболи записано у виді . Тоді кут між асимптотами буде. Оскільки, то, обчисливши синус обох частин рівності, дістаємо, звідки знаходимоабо. Враховуючи, те що згідно з умовою задачі відстань між директрисамивідома, отримуємо. Тепер у випадкудістаємо, а при.

Відповідь. та.

Задача 3. Знайти геометричне місце центрів кіл, які дотикаються до двох заданих кіл, розташованих одне поза другим.

Розв’язання. Нехай коло з центром у точціта радіусомдотикається до заданих кілі, центри яких знаходяться у точкахта, а радіуси дорівнюютьта().

Увипадку, коли задані кола розташовані одне поза другим і колодотикається до заданих зовнішнім чином (рис. 3), виконується рівність, із якої відповідно до означення гіперболи випливає, що точкапри умові, що колозмінює своє положення, рухається по одній із двох віток гіперболи. Другу вітку гіперболи утворюють центри кіл, які дотикаються до двох заданих та містять їх всередині (рис. 3).

Справді, у цьому випадку виконується рівність . Якщо колодотикається до одного із заданих кіл внутрішнім чином, а другого зовнішнім (рис. 4), то буде виконуватися рівність, яка показує, що центри кіл належать гіперболі. Обидві гіперболи мають фокуси, які розташовані у центрах заданих кіл, а дійсні осі у них різні: у першому випадку, а у другому. Аналогічний результат ми отримаємо, коли задані кола перетинаються.

Задачі для самостійного розв’язання.

1. Написати рівняння множини точок, для кожної з яких модуль різниці відстаней від точок ідорівнює 9.

2. Знайти довжини півосей і координати фокусів наступних гіпербол:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

3. Знайти площу прямокутника, вершини якого лежать на гіперболі , а дві сторони проходять через фокуси паралельно осі

4. Написати канонічне рівняння гіперболи, якщо:

1. відстань між вершинами гіперболи 6 а між фокусами 8;

2. дійсна піввісь 4, і гіпербола проходить через точку з координатами ;

3. велика вісь дорівнює 10, а ексцентриситет ;

4. відстань між фокусами 8, а уявна(мала) вісь дорівнює 4.

5. Скласти рівняння гіперболи в канонічній системі координат, якщо:

1. гіпербола проходить через точки і ;

2. гіпербола проходить через точку і має ексцентриситет ;

3. гіпербола проходить через точку і його мала піввісь дорівнює 3.

6. Знайти точки перетину прямої і гіперболи.

7. Знайти точки перетину прямої і гіперболи.

8. Задано рівносторонню гіперболу . Знайти спів фокусну гіперболу, яка проходить через точку.

9. Знайти кут між асимптотами гіперболи, якщо:

1. ексцентриситет дорівнює 2;

2. ексцентриситет дорівнює ;

3. ексцентриситет дорівнює ;

4. відстань між фокусами вдвічі більша відстані від точки до односторонньої з фокусом директриси.

10. Написати рівняння дотичної до гіперболи , яка проходить через точку: 1), 2) , 3) .

11. Знайти рівняння дотичної до гіперболи , яка

1) паралельна до прямої ,

2) паралельна до прямої ,

3) перпендикулярна до прямої .

12. Побудуйте лінію в прямокутній декартовій системі координат, знайдіть її центр, ексцентриситет, асимптоти: .

13. Вибравши на площині прямокутну декартову систему координат, зобразіть область задану наступними системами:

, , .

14. Знайти рівняння дотичної до гіперболи , яка проходить через точку.

15. Знайти рівняння дотичної до гіперболи , в точці.

16. Написати канонічне рівняння двох спряжених гіпербол, якщо відомо, що відстань між директрисами першої з них дорівнює , а відстань між директрисами другої -.

17. Прямі є директрисами гіперболи, ексцентриситет якої. Знайти на гіперболі точки в яких фокусні радіуси, що проведені з правого фокуса, дорівнюють 9.

18. На гіперболі , вибрано точку, абсциса якої 10, а ордината додатна. Знайти кут між фокусними радіусами цієї точки.

19. На гіперболі знайти точку фокусні радіус-вектори якої взаємно перпендикулярні.

20. На гіперболі , вибрано точку. Скласти рівняння прямих, які містять фокусні радіуси цієї точки.

21. Скласти рівняння гіперболи, якщо відомо рівняння її асимптот , і рівняння дотичної.

22. Пряма дотична до гіперболи в точці. Знайдіть рівняння цієї гіперболи.

23. Доведіть, що дотичні до гіперболи утворюють з асимптотами рівновеликі трикутники.

24. Доведіть, що коли еліпс і гіпербола мають спільні фокуси, то вони перетинаються під прямим кутом, тобто дотичні до еліпса і до гіперболи в точці їх перетину взаємно перпендикулярні.

25. Довести, що добуток відстаней від фокусів гіперболи до довільної дотичної, проведеної до гіперболи, є величина стала.

26. Довести, що відрізок довільної дотичної до гіперболи, який міститься між асимптотами, ділиться в точці дотику навпіл.

27. Довести, що директриса гіперболи проходять через основу перпендикуляра, проведеного з відповідного фокуса до асимптоти гіперболи.

28. Довести, що відстань від фокуса гіперболи до її асимптот дорівнює.

29. Скласти рівняння такої хорди гіперболи , яка точкоюділиться навпіл.

30. Знайти геометричне місце точок, із яких гіперболу видно під прямим кутом.

Практичне заняття № 16. Парабола.