Еще раз подчеркнем, что противоречат друг другу высказывания «Все S есть Р» и «Некоторые S не есть Р» и высказывания «Все S не есть Р» и «Некоторые S есть Р». Высказывания же «Все S есть Р» и «Все S не есть Р», а также высказывания «Некоторые S есть Р» и «Некоторые S не есть Р» не противоречат друг другу. Будут, таким образом, определены и диагонали квадрата. Все рассуждения представлены на рис. 2.8.

Рисунок 2.8. Логический квадрат

Рассмотрев простые высказывания, выполнив их классификацию по различным признакам, мы переходим к рассмотрению сложных высказываний.

Глава 2.3. Сложные высказывания

Мы уже говорили в предыдущей главе, что высказывания делятся на простые и сложные. Наверное, понятно, что сложным называется высказывание, содержащее другие высказывания в качестве своих частей.

Сложными являются, к примеру, высказывания: «Изучение логики нетрудно и небесполезно», «Он способен, и он прилежен», «Либо Лермонтов родился в Москве, либо он родился в Петербурге», «Если наступает день, становится светло», «Неверно, что 9 — простое число» и т.п. Первое из этих высказываний слагается из двух простых высказываний: «Изучение логики нетрудно» и «Изучение логики небесполезно». Второе высказывание включает две части, являющиеся высказываниями: «Он

33

способен» и «Он прилежен». Последнее, отрицательное высказывание содержит в качестве своей части высказывание: «9 — простое число». Отрицательное высказывание относится, таким образом, к сложным высказываниям: оно слагается из оборота «неверно, что...» и какого-то высказывания, стоящего на месте многоточия.

Как и в правилах русского языка, сложные высказывания образуются из других высказываний с помощью логических связок, или логических постоянных (констант), «и», «или», «либо, либо», «если, то», «если и только если», «неверно, что» и др.

В грамматике некоторые из указанных связок называются союзами. В логике они имеют свои названия, о чем мы скажем чуть ниже.

Приведем еще примеры сложных высказываний. Например, «Ставрополь является краевым центром и его можно считать самым крупным населенным пунктом края», «Рыночная экономика в большинстве стран начинается с либерализации цен, или она начинается с приватизации государственных предприятий», «Фермер повысит урожайность зерновых, если будет применять минеральные удобрения».

Перечисленные связки являются наиболее употребительными, но ими не исчерпывается множество всех возможных связок, благодаря которым могут образовываться сложные высказывания.

Мы уже сказали, что в логике союзы имеют специальные названия. Рассмотрим сложное высказывание, составленное с помощью связки «и» Связка «и» называется конъюнкцией. С помощью «и» два высказывания объединяются в новое, более сложное высказывание, называемое конъюнктивным высказыванием или просто конъюнкцией. Иногда такое высказывание называют также соединительным.

Например, сложное высказывание «Ставрополь является краевым центром и его можно считать самым крупным населенным пунктом края» является конъюнкцией, слагающейся из двух простых высказываний: «Ставрополь является краевым центром» и «Его можно считать самым крупным населенным пунктом края».

34

Или такой пример: «Прошли девяностые, и ажиотаж вокруг темы «жизненная позиция» стал спадать». Здесь снова два простых высказывания: «Прошли девяностые» и «Ажиотаж вокруг темы «жизненная позиция» стал спадать».

Проанализируйте самостоятельно такое высказывание: «Поставьте себе цель и выберите наилучший способ ее достижения».

В обычном языке вместо слова «и» могут использоваться слова «а», «но», «да», «но и», «а также», «как... так» и т.д. Они по своим логическим свойствам равнозначные «и» («Видит око, да зуб неймет», «Как стемнело, так и стало холодно» и т.п.).

Для записи логических законов, конъюнкция обозначается обычно знаком & (амперсант), иногда знаками ^ («птичка, летящая вверх») или • («точка»). Если буквы А и В обозначают какие-то высказывания, то A & B— их конъюнкция, читаемая как «А и В».

Далее мы более подробно определим значение конъюнкции. Сейчас же можно предварительно сказать, что «и» означает: только оба вместе или — и первое, и второе. К примеру, высказывание «Мы пойдем на лекцию и пойдем на семинар» означает, что мы намереваемся пойти и на лекцию, и на семинар.

Если вернуться к рассмотрению такого сложного высказывания, как «Рыночная экономика в большинстве стран начинается с либерализации цен, или она начинается с приватизации государственных предприятий», то оно получено с помощью логической связки «или». Связка «или» называется дизъюнкцией. С помощью «или» два высказывания соединяются в сложное высказывание, называемое дизъюнктивным высказыванием или просто дизъюнкцией. Иногда такое высказывание называют также разделительным. В предложенном примере сложное высказывание состоит из двух простых — «Рыночная экономика в большинстве стран начинается с либерализации цен» и «Она начинается с приватизации государственных предприятий» и является дизъюнкцией.

Следует заметить, что в логике слово «или» имеет два смысла, т.е. является многозначным. Иными словами, говорят о строгой дизъюнкции и нестрогой дизъюнкции. Выясним эти понятия.

35

В случае строгой дизъюнкции «или» означает: одно из двух, но не оба вместе. В случае строгой дизъюнкции члены дизъюнкции исключают друг друга. Строгая дизъюнкция чаще передается словами «либо, либо», а не словом «или». Например, «Приговор суда может быть обвинительным или оправдательным», «Наполеон родился на Корсике, или он родился на Сицилии». Это означает, что приговор суда может быть либо обвинительным, либо оправдательным, но не то и другое вместе. И что либо Наполеон родился на Корсике, либо на Сицилии, но не то и другое вместе. Для обозначения строгой дизъюнкции используют

символ V. («птичка, летящая вниз, с точкой»). Если буквы A и B обозначают какие-то высказывания, то запись вида

AV. B — строгая дизъюнкция, читаемая как «либо А,

либо В».

Рассмотрим, что такое нестрогая дизъюнкция, или ее называют дизъюнкцией. В этом случае «или» означает: одно из двух или оба вместе. Иногда говорят так, что дизъюнкция нестрогая, если члены дизъюнкции не исключают друг друга. К примеру, нестрогая дизъюнкция «Будет мороз или пойдет снег» означает, что будет мороз или снег или же мороз вместе со снегом. Или, например, «Освоить курс логики можно либо самостоятельно, работая с лекциями и учебником, либо занимаясь с преподавателем».

Дизъюнкция (нестрогая) обычно обозначается знаком V («птичка, летящая вниз»). Если A и B — высказывания, то

AVB — их (нестрогая) дизъюнкция, читаемая как «A или B». Прежде чем перейти к рассмотрению следующей логиче-

ской связки, остановимся на практическом приложении той теории, о которой мы только что говорили.

В некоторых ситуациях, когда необходимо четко выразить мысль, например, при заключении договора, полезно не только не употреблять союз «или» вместо «или…, или», но и пояснять дополнительно, что утверждается наличие (или возможность) двух ситуаций или же только одной из них.

Так, российская фирма заключила договор с иностранной фирмой на поставку сырья вместо оргтехники. В договоре на русском языке было сказано, что российская фирма получает оргтех-

36

нику, а взамен поставляет уголь или нефть. Подразумевался неразделительный смысл союза «или» - нестрогой дизъюнкции. При переводе на русский язык был употреблен союз or , а не выражение or (and), как это принято в тех случаях, когда требуется указать на соединительно – разделительный смысл союза «или». Фирма расплатилась частично углем, а частично нефтью. Пришлось заплатить неустойку, поскольку арбитражный суд признал претензии иностранной фирмы справедливыми.

Если два простых высказывания соединены связкой «если, то...», то получаемая связь называется условной связью, или импликацией. Например, сложное высказывание «Если сверкает молния, то гремит гром» является импликацией, образованной из двух простых высказываний «Сверкает молния» и «Гремит гром».

Условная связь иногда выражается не словами «если, то...», а равнозначными им словами «когда», «в случае» и т.п. или вообще без слов. Рассмотрим примеры таких высказываний. «Если регулируемые цены отпустить, они будут зависеть от спроса и предложения», «Договор заключается, когда стороны достигают согласия», «Кто не работает, тот не ест», «Овладение искусством общения влечет улучшение межличностных отношений», и т.д.

Мы сказали, что сложные высказывания составляются из простых с помощью логических связок. Но применительно к условному (импликативному) высказыванию необходимо заметить, что в нем различают две части. Основание — высказывание, идущее после слова «если», и следствие — высказывание, идущее за словом «то». Основание условного высказывания называют также антецедентом (буквально: предшествующий), а следствие такого высказывания — консеквентом (последующий). Связка «если...то» говорит о наличии отношения между основанием и следствием.

В условном высказывании «Если наступает день, то становится светло» основанием (антецедентом) является высказывание «Наступает день», а следствием (консеквентом) — высказывание «Становится светло».

Определите самостоятельно в следующем высказывании условие и заключение: «Если твой дед является инвалидом войны, то на него распространяются соответствующие льготы».

37

Как и другие рассмотренные логические связки импликация имеет свой знак для обозначения. Условная связь (импликация)

обычно обозначается знаком		(«стрелка»). Из высказываний				A и
	образуется их импликация A			B, читаемая как «если	, то		».
B				A		B

Иногда условная связь обозначается знаком ∩(«подкова»). Условные высказывания, формируемые с помощью «если,

то...», играют важную роль как в обычном языке, так и в языке науки. Условное высказывание устанавливает, что одно состояние, событие и т.п. является в том или ином смысле основанием или условием другого.

Например, в высказывании «Если есть огонь, то есть дым» наличие огня представляется как основание или одно из условий появления дыма; а в высказывании «Если число делится на 9, то оно делится на 3» делимость на 9 выступает как условие делимости на 3, и т.п.

Утверждая условное высказывание, мы, прежде всего, имеем в виду, что не может быть так, чтобы то, о чем говорится в его основании, имело место, а то, о чем говорится в следствии, отсутствовало. В частности, описательное условное высказывание говорит, что не может случиться, чтобы основание было истинным, а следствие ложным.

Остановимся более подробно на рассмотрении функций условного высказывания.

Типичной функцией условного высказывания является обоснование одного высказывания ссылкой на другое высказывание. Скажем, электропроводность серебра можно обосновать ссылкой на то, что оно металл: «Если серебро — металл, оно электропроводно».

Выражаемую условным высказыванием связь обосновывающего и обосновываемого (основания и следствия) трудно охарактеризовать в общем виде, и только иногда природа ее относительно ясна. Эта связь может быть, в частности, связью логического следования, имеющей место между посылками и заключением правильного умозаключения («Если все живые многоклеточные существа смертны и медуза является таким существом, то она смертна»). Связь может представлять собой закон природы («Если тело подвергнуть трению, оно начнет нагреваться») или

38

причинную связь («Если тучи закрывают Луну, становится темнее»). Рассматриваемая связь может иметь также характер социальной закономерности, правила, традиции и т.п. («Если клятва дана, она должна выполняться»).

Попытайтесь самостоятельно проанализировать высказывание: «Ваши партнеры будут вести с вами коммерческие дела, если будут испытывать к вам симпатию, доверие, уважение».

Кроме задачи обоснования, условное высказывание может выполнять также целый ряд других задач. Оно может формулировать условие, не связанное с каким-то подразумеваемым общим законом или правилом («Если захочу, разрежу свой плащ»), фиксировать какую-то последовательность, отличную от причинной связи («Если прошлое лето было сухим, то в этом году оно дождливое»), выражать в своеобразной форме неверие во что-то («Если вы решите эту задачу, я докажу великую теорему Ферма»), противопоставление («Если в огороде растет бузина, то в Киеве живет дядька») и т.д. Многочисленность и разнородность задач, решаемых условным высказыванием, существенно затрудняет его анализ и описание его логических свойств.

Необходимо отметить, что характерная для условного высказывания связь основания и следствия в зависимости от контекста может выражаться не только с помощью «если, то», но и с помощью других языковых средств. Например, «Так как вода жидкость, она передает давление во все стороны равномерно», «Хотя пластилин и не металл, он пластичен» и «Если бы дерево было металлом, оно было бы электропроводно». Употребление в них простого «если, то» кажется не вполне естественным. Тем не менее, эти и подобные им высказывания представляются в логике посредством условной связи.

Следующая логическая связка, о которой мы поведем сейчас речь, называется эквивалентностью. Эта связка вида «если и только если». С помощью этой связки два высказывания соединяются в сложное высказывание, называемое эквивалентностью. Например, «Посевная пройдет успешно, если и только если вовремя будут отремонтированы сельскохозяйственные машины». Это сложное высказывание образовано из двух простых высказываний «Посевная пройдет успешно» и «Вовремя будут отре-

39

монтированы сельскохозяйственные машины». В этих высказываниях утверждается взаимная обусловленность двух ситуаций.

Но эквивалентность может образовываться не только связкой «если и только если», но и другими речевыми оборотами, например, «тогда и только тогда, когда», «в том и только в том случае, когда» и т.д. К примеру, «Фирма купит товар тогда и только тогда, когда будет снижена цена этого товара на 15%», или такой пример, «В компании возникает хороший психологический климат тогда и только тогда, когда будут однозначно определены задачи, ответственность и компетенция каждого сотрудника».

Эквивалентность разлагается на два условных высказывания. Например, эквивалентность «Фирма купит товар тогда и только тогда, когда будет снижена цена этого товара на 15%» включает два условных высказывания: «Если цена товара будет снижена на 15%, то фирма купит товар», и «Если фирма купит товар, то цена этого товара будет снижена на 15%». Поэтому эквивалентность иногда называют «двусторонней импликацией».

Эквивалентность обычно обозначается знаком ↔ («двунаправленная стрелка») или знаком ≡.

Из высказываний A и B образуется их эквивалентность AB,которая читается как «А, если и только если В».

Эквивалентность означает равнозначность двух высказываний, их тождество. В случае описательных высказываний эквивалентность означает совпадение двух таких высказываний в их истинности или в их ложности.

Логическая операция – связка, о которой мы поведем сейчас речь, называется отрицанием. Слово «связка» применительно к «неверно, что» («не») звучит несколько непривычно: связка «связывает» по меньшей мере, два объекта, а «неверно, что» — операция, приложимая к одному высказыванию.

Но тем не менее, эта операция также именуется «связкой», и это, в общем-то, не более непривычно, чем называть нуль числом.

С помощью отрицания из данного высказывания получается новое высказывание, называемое отрицательным высказыванием или просто отрицанием. Например, из высказывания «Все заболевания излечимы» получается отрицательное высказывание «Неверно, все заболевания излечимы». Это отрицательное выска-

40

зывание слагается из исходного простого высказывания и оборота «неверно, что».

Вместо слов «неверно, что» очень часто используется слово «не»: вместо «Неверно, что слон — разумное существо» можно сказать: «Слон не является разумным существом».

Отрицание обычно обозначается знаком ~ («тильда»), иногда знаком ⌐ («уголок») или «—» — горизонтальной чертой над всем отрицаемым высказыванием. Если A — высказывание, то

~А или A− — его отрицание, читаемое как «Неверно, что А» или

«Не-А».

Высказывание и его отрицание составляют вместе

логическое противоречие.

Значит, когда мы не соглашаемся с каким-либо высказыванием, мы говорим, что это высказывание неверно.

Возникает задача высказать утверждение, доказав которое мы опровергнем исходное. Пусть высказыванием кто-то утверждает: «Все долгожители употребляют алкоголь». Кто-то с этим не соглашается и говорит: «Это неверно, никто из долгожителей не употребляет алкоголя». Если будет доказано, что никто из долгожителей не употребляет алкоголя, то исходное высказывание будет опровергнуто. Однако может оказаться, что последнее высказывание доказать нельзя, поскольку оно является ложным. Тогда опровержения получить не удастся, потому что второй человек стал доказывать слишком сильное утверждение, он совершил ошибку «кто много доказывает, тот ничего не доказывает». Здесь наиболее оптимальным результатом отрицания исходного является следующее высказывание «Некоторые из долгожителей не употребляют алкоголя».

В случае описательных высказываний, если исходное высказывание истинно, его отрицание является ложным, а если исходное высказывание ложно, его отрицание истинно.

К примеру, из ложного высказывания «Все заболевания излечимы» с помощью операции отрицания получаем истинное высказывание «Неверно, что все заболевания излечимы» или «Не все заболевания излечимы». Из ложного высказывания «Тигры живут на Северном полюсе» с помощью отрицания получается

41

истинное высказывание «Неверно, что тигры живут на Северном полюсе» или «Тигры не живут на Северном полюсе».

В случае описательных высказываний отрицать несложно. Если подумать, то это можно сделать и без знания логики. Однако в процессе дискуссии может возникнуть ситуация, когда думать некогда, поскольку требуется время для подбора аргументов по существу обсуждаемой проблемы. В таких случаях многое полезно делать автоматически.

Что еще полезно знать про описательные высказывания? Отрицая это высказывание, мы меняем его качество и количество. Отрицая общее, получаем частное, и наоборот, отрицая частное, получаем общее высказывание.

Например, результатом отрицания высказывания «Ни одна болезнь не является наследственной» является высказывание «Некоторые болезни являются наследственными».

Подведем итог о высказываниях. Они существую двух типов: простые и сложные. Простыми мы назвали высказывания, не содержащие других высказываний в качестве своих частей. А сложными — высказывания, содержащие другие высказывания в качестве своих частей. Сложные высказывания могут образовываться из простых с помощью логических связок: дизъюнкции, конъюнкции, импликации, эквивалентности, отрицания. Рассмотрели, как осуществляется построение сложных высказываний при всех указанных связках. Сведем те сведения, которые получили про логические связки, в табл. 2.2.

Таблица 2.2 Логические связки и их символические обозначения

42