Формальное определение сети Петри

Чтобы можно было использовать сети Петри для анализа процессов обработки, необходимо иметь точное определение.

Графом сети Петри будем называть тройку (), где

- непустое множество элементов сети, называемых местами,

- непустое множество элементов сети, называемых переходами,

- отношение инцидентности,

и для () выполнены следующие условия:

• (множества мест и переходов не пересекаются);

• (т.е. любой элемент сети инцидентен хотя бы одному элементу другого типа);

• если для произвольного элемента сети обозначить черезмножество его входных элементов, а через- множество его выходных элементов, то

то есть сеть не содержит пары мест, которые инцидентны одному и тому же множеству переходов.

Графическим представлением сети служит двудольный ориентированный граф с двумя типами вершин; вершины-места изображаются кружочками, вершины-переходы - барьерами. Из вершины в вершинуведет дуга, если и только если.

На основе понятия сети, которая описывает только статическую топологию моделируемого процесса или системы, вводятся динамические сетевые структуры, в которых местам приписываются специальные разметки, моделирующие выполнение условия, и с сетью связывается понятие ее функционирования, изменяющего эти разметки (условия) в результате так называемых срабатываний переходов. К таким динамическим сетям относятся сети Петри, их различные варианты, обобщения и частные случаи.

Сеть Петри - это набор , где- конечная сеть (множествоконечно), aи- две функции, называемые соответственно кратностью дуг и начальной разметкой. Первая сопоставляет каждой дуге число(кратность дуги). Если, то в графическом представлении сети числовыписывается рядом с короткой чертой, пересекающей дугу. Часто такая дуга будет также заменяться пучком издуг, соединяющих соответствующие элементы сети. Условимся никак не отмечать кратность дуг, равную 1. Такую сеть будем называть ординарной. Вторая функция сопоставляет каждому местунекоторое число(разметка места). В графическом представлении сети разметка местаизображается помещением в вершину-кружок числаили, если это число невелико, соответствующего числа точек (фишек).

Разметка сети - это функция. Если предположить, что все места сетистрого упорядочены каким-либо образом, т.е., то разметкусети (в том числе начальную разметку) можно задать как вектор целых неотрицательных чисел

такой, что для любого .

На основе отношения инцидентности можно ввести функцию инцидентности, которая определяется выражением

Значения функции можно трактовать как кратность дуги между вершинами сетии. Если, то это означает, что между вершинамиидуги нет.

Если места сети упорядочены, то можно каждому переходу сопоставить два целочисленных вектораидлиной, где:

и

Функционирование сети Петри описывается формально с помощью множества последовательностей срабатываний и множества достижимых в сети разметок. Эти понятия определяются через правила срабатывания переходов сети.

Переход может сработать при некоторой разметкесети, если, то есть каждое входное местопереходаимеет разметку, не меньшую, чем кратность дуги, соединяющейи. Это условие можно переписать в векторной форме следующим образом:.

Предполагается, что для векторов выражениеозна-чает, что.

Из определения векторов иясно, что векторявляется столбцом матрицы, а векторявляется столбцом матрицы

Векторы имогут быть представлены как произведенияиматрицина векторвида

( 8.3)

у которого все компоненты равны 0, кроме -й компоненты, равной 1.

Для ординарной сети Петри условие срабатывания перехода означает, что любое входное место этого перехода содержит хотя бы одну фишку, т.е. имеет ненулевую разметку.

Срабатывание перехода при разметкепорождает разметкупо следующему правилу:

В матричном виде изменение разметки при срабатывании перехода описывается выражением

( 8.4)

Обозначив , получим еще более краткую запись для выражения (8.4)

( 8.5)

Таким образом, срабатывание перехода изменяет разметку так, что разметка каждого его входного местауменьшается на, т.е. на кратность дуги, соединяющейи, а разметка каждого его выходного места увеличивается на, т.е. на кратность дуги, соединяющейи.

Элемент матрицы , находящийся в-й строке и-м столбце, представляет собой разность числа появившихся и удаленных в-м месте фишек в результате срабатывания-го перехода.

На множестве разметок можно ввести отношение непосредственного следования разметок:

Будем использовать уточняющее обозначение , еслинепосредственно следует послев результате срабатывания перехода. Говорят, что разметкадостижима от разметки, если существует последовательность разметоки словов алфавите, такие что

Слово в этом случае называется последовательностью срабатываний, ведущих отк. Обобщим отношения непосредственного следования до отношения "достижима от", используя обозначениеили, если уточняется последовательность срабатываний (последовательность может быть пустой, т.е.не достижима от).

Множество разметок, достижимых в сетиот разметки, обозначим через. Множество, т.е. множество всех разметок, достижимых вот начальной разметки, называют множеством достижимых разметок сети(заметим, чтои).

Множеством последовательностей срабатываний сети , или свободным языком сети, называется множество

то есть множество всех последовательностей срабатываний, ведущих от к каждой достижимой вразметке.

На рис.8.6изображена сеть Петри, на примере которой поясним данные выше определения. В этой сети. Функция инцидентностизадается с помощью следующих двух таблиц, в которых на пересечении строкии столбцастоит число:

	1		1		0
	0		0		1
	0		2		0
	1		0		0
		1	1	0		0
		0	2	0		0
		0	0	1		1

Начальная разметка задается следующим образом:, или в векторной форме:.

При разметке могут сработать переходыи, так как. Переходыине могут сработать, так как вектор начальной разметкине покрывает векторы, и.

Рис. 8.6. Пример сети Петри

В результате срабатывания перехода разметкасменяется на разметку (1, 3, 0), а в результате срабатывания переходаразметкасменяется на разметку (0, 0, 1) . Обе новые разметки непосредственно следуют послев рассматриваемой сети. Можно представить возможные изменения разметок сети, происходящие в результате срабатывания ее переходов, в виде графа разметок - ориентированного графа, множество вершин которого образовано множествомдостижимых вразметок. Из вершиныв вершинуведетa дуга, помеченная символом перехода, если и только если. Нарис.8.7показан начальный фрагмент графа разметок сети нарис.8.6. Этот граф бесконечен, так как множестводостижимых разметок бесконечно для рассматриваемой сети.

Разметка называется тупиковой, если в сетине существует ни одного перехода, который может сработать при этой разметке. Для рассматриваемой сети тупиковыми являются разметки (0, 2, 0), (0, 3, 0), (0,4,0),..., (0, n, 0)...

Легко видеть, что если выделить путь по дугам графа разметок, начинающийся в вершине и заканчивающийся в вершине, и выписать подряд все встречающиеся символы переходов, то полученное слово образует последовательность срабатываний, ведущих отк. Множество всех слов, которые получены выписыванием символов переходов вдоль путей, начинающихся в, образует множество последовательностей срабатываний сети, или ее свободный язык. Так, язык рассматриваемой сети включает слова.