Перевод целых чисел

Целое число с основанием переводится в систему счисления с основаниемпутем последовательного деления числана основание, записанного в виде числа с основанием, до получения остатка. Полученное частное следует вновь делить на основание, и этот процесс надо повторять до тех пор, пока частное не станет меньше делителя.

Полученные остатки от деления и последнее частное записываются в порядке, обратном полученному при делении. Сформированное число и будет являться числом с основанием .

Пример 14.3.

Перевод дробных чисел

Дробное число с основанием переводится в систему счисления с основаниемпутем последовательного умножения <<Eqn010.eps>> на основание, записанное в виде числа с основанием. При каждом умножении целая часть произведения берется в виде очередной цифры соответствующего разряда, а оставшаяся дробная часть принимается за новое множимое. Число умножений определяет разрядность полученного результата, представляющего числов системе счисления.

Пример 14.4.

Так как двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы связаны через степени числа 2, то преобразования между ними можно вы-полнять другим, более простым способом. Для перевода из шестнадцатеричной (восьмеричной) системы счисления в двоичную достаточно двоичным кодом записать шестнадцатеричные коды цифр тетрадами (по 4 двоичных разряда) и триадами (по 3 двоичных разряда) - для восьмеричных цифр. Обратный перевод из двоичного кода производится в обратном порядке: двоичное число разбивается влево и вправо от границы целой и дробной частей на тетрады - для последующей записи цифр в шестнадцатеричном представлении, на триады - для записи их значений восьмеричными цифрами.

Арифметические основы эвм Представление числовой информации в компьютере

В компьютерах используются три вида чисел: с фиксированной точкой (запятой), с плавающей точкой (запятой) и двоично-десятичное представление. Точка (запятая) - это подразумеваемая граница целой и дробной частей числа, разряды иформулы (4.1).

Все современные компьютеры имеют центральный процессор или центральное процессорное устройство - CPU (Central Processing Unit), предназначенное для обработки чисел с фиксированной точкой. Одной из важнейших его характеристик является разрядность - количество двоичных разрядов, представляющих значение числа. Основным достоинством CPU служит простота алгоритмов выполнения операций и, соответственно, высокая скорость операций.

У чисел с фиксированной точкой в двоичном формате предполагается строго определенное место точки (запятой). Обычно это место определяется или перед первой цифрой числа, или после последней цифры числа. Если точка фиксируется перед первой значащей цифрой, то это означает, что число по модулю меньше единицы. Диапазон изменения значений чисел определяется неравенством:

Если точка фиксируется после последней цифры, то это означает, что -разрядные двоичные числа являются целыми. Диапазон изменения их значений составляет:

Перед самым старшим из возможных цифровых разрядов двоичного числа фиксируется его знак. Положительные числа имеют нулевое значение знакового разряда, отрицательные - единичные. Каждая цифра двоичного числа занимает один бит соответствующего-разрядного формата.

Существенным недостатком представления чисел с фиксированной точкой служит тот факт, что аппроксимация малых чисел связана с большой относительной ошибкой. Для чисел же, приближающихся по величине к максимально возможным (), относительная ошибка уменьшается. Абсолютная же ошибка представления чисел с фиксированной точкой всегда лежит в одних и тех же пределах независимо от величины чисел.

Другой формой представления чисел является представление их в виде чисел с плавающей точкой (запятой). Представление чисел с плавающей точкой необходимо использовать, когда обрабатываемые числа имеют очень большой диапазон изменения. Эта ситуация типична для научно-технических расчетов (тригонометрические, экспоненты, логарифмы). Поэтому все современные микропроцессоры в качестве дополнения к CPU имеют математические сопроцессоры. Их обычно называют блокамиилиустройствами с плавающей точкой- FPU (Floating Point Unit), иличисловым расширением процессора- NPX (Numeric Processor eXtension). Сочетание параллельно работающих CPU и FPU позволяет добиться большей скорости и большей точности вычислений.

Числа с плавающей точкой представляются в виде мантиссы и порядка, иногда это представление называютполулогарифмической формой числа. Например, числоможно представить в виде, при этом, основание системы счисления подразумевается фиксированным и равным десяти. Для двоичных чиселв этом представлении также формируетсяи порядокпри основании системы счисления, равном двум.

что соответствует записи

Детализация двоичного представления чисел с плавающей точкой и двоично-десятичная форма чисел подробно освещены в [88]. Поскольку их представление и обработка базируются на двоичной арифметике, рассмотрим правила сложения двоичных цифр.

Все современные ЭВМ имеют достаточно развитую систему команд, включающую десятки и сотни машинных операций. Однако выполнение любой операции основано на использовании простейших микроопераций типа сложения и сдвига. Это позволяет иметь единое арифметико-логическое устройство для выполнения любых операций, связанных с обработкой информации. Сложение двоичных цифр двух чисел ииллюстрируетсятабл. 14.2.

Таблица 14.2. Правила сложения двоичных цифр
Значения двоичных чисел А и В			Разряд суммы	Перенос в следующий разряд
0	0	0	0	0
0	0	1	1	0
0	1	0	1	0
0	1	1	0	1
1	0	0	1	0
1	0	1	0	1
1	1	0	0	1
1	1	1	1	1

Здесь показаны правила сложения двоичных цифр ,одноименных разрядов с учетом возможных переносов из предыдущего разряда.

Подобные таблицы можно было бы построить для любой другой арифметической и логической операции (вычитание, умножение и т.д.), но именно данные этой таблицы положены в основу выполнения любой операции ЭВМ. Под знак чисел отводится специальный знаковый разряд. Знак "+" кодируется двоичным нулем, а знак "-" - единицей. Действия над прямыми кодами двоичных чисел при выполнении операций создают большие трудности, связанные с необходимостью учета значений знаковых разрядов:

• во-первых, следует отдельно обрабатывать значащие разряды чисел и разряды знака;

• во-вторых, значение разряда знака влияет на алгоритм выполнения операции, например, сложение может заменяться вычитанием и наоборот.

Во всех ЭВМ без исключения все операции выполняются над числами, представленными специальными машинными кодами. Их использование позволяет обрабатывать знаковые разряды чисел так же, как и цифровые разряды, а также заменять операцию вычитания операцией сложения.

Различают прямой код (П), обратный код (ОК) и дополнительный код (ДК) двоичных чисел.