Системы счисления

Системой счисленияназывается способ изображения чисел с помощью ограниченного набора символов, имеющих определенные количественные значения. Систему счисления образует совокупность правил и приемов представления чисел с помощью набора знаков (цифр).

Различают позиционныеинепозиционныесистемы счисления. В позиционных системах каждая цифра числа имеет определенный вес, который зависит от позиции цифры в последовательности, изображающей число. Позиция цифры называетсяразрядом. В позиционной системе счисления любое число можно представить в виде:

( 14.1)

где --я цифра числа;

- количество цифр в дробной части числа;

- количество цифр в целой части числа;

- основание системы счисления.

Основание системы счисления показывает, во сколько раз "вес"-го разряда больше () разряда. Целая часть числа отделяется от дробной части точкой (запятой).

Пример 14.1..

В соответствии с формулой (14.1) это число формируется из цифр с весами разрядов:

Теоретически наиболее экономичной системой счисления для представления значения числа цифрами является система с основанием , находящимся между числами 2 и 3.

Во всех современных ЭВМ для представления числовой информации применяется двоичная система счисления. Это обусловлено:

• более простой реализацией алгоритмов выполнения арифметических и логических операций;

• более надежной физической реализацией основных функций, так как они имеют всего два состояния (0 и 1);

• экономичностью аппаратной реализации всех схем ЭВМ.

При число различных цифр, используемых для записи чисел, ограничено множеством из двух цифр (нуль и единица). Кроме двоичной системы счисления, широкое распространение получили и производные системы:

• двоичная - ;

• десятичная, точнее двоично-десятичное представление десятичных чисел - ;

• шестнадцатеричная - . Здесь шестнадцатеричная цифраобозначает число 10,- число 11, ...,- число 15;

• восьмеричная (от слова восьмерик) - . Она широко используется во многих специализированных ЭВМ.

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления являются производными от двоичной, так как и. Они применяются в основном для более компактного изображения двоичной информации, так как запись значения чисел производится существенно меньшим числом знаков

Пример 14.2. Числов двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления имеют следующее представление:

В табл. 14.1приведено сравнительное представление чисел в различных системах счисления: десятичной (10 с/с), двоичной (2 с/с), восьмеричной (8 с/с) и шестнадцатеричной (16 с/с).

По данным этой таблицы можно выявить целый ряд закономерностей:

• нуль и единица имеют единственное и одинаковое представление в любых системах счисления;

• основание системы счисления в любой системе имеет представление 10;

• незначащие нули слева от целой части и справа от дробной части числа не изменяют значений чисел;

  Таблица 14.1. Представление чисел в различных системах счисления
  10c/c	2c/c	8c/c	16c/c	10c/c	2c/c	8c/c	16c/c
  Целые числа				Целые числа
  0	00000	0	0	10	01010	12	A
  1	00001	1	1	11	01011	13	B
  2	00010	2	2	12	01100	14	C
  3	00011	3	3	13	-1101	15	D
  4	00100	4	4	14	01110	16	E
  5	00101	5	5	15	01111	17	F
  6	00110	6	6	16	10000	20	10
  7	00111	7	7	17	10001	21	11
  8	01000	10	8	18	10010	22	12
  9	01001	11	9	и.т.д.
  Дробные числа				Дробные числа
  0.5	0.1	0.4	0.8	0.0625	0.0001	0.04	0.1
  0.25	0.01	0.2	0.4	0.03125	0.00001	0.02	0.08
  0.125	0.001	0.1	0.2	и т.д.

• представление чисел в различных системах счисления допускает однозначное их преобразование из одной системы в другую.

В ЭВМ перевод из одной системы в другую осуществляется автоматически, по специальным программам. Правила перевода целых и дробных чисел отличаются.

Необходимо сделать несколько замечаний. В общем случае перевод любого числа с дробью из одной системы счисления в другую может привести к появлению иррациональных чисел, имеющих бесконечное количество разрядов в дробной части чисел. Естественно, что любое техническое устройство, например компьютер, может оперировать только с конечным числом цифр, являющихся старшими, наиболее значимыми разрядами.

Игнорирование, отбрасывание младших разрядов чисел приводит к их округлению. При этом разница между округляемым и полученным числами называется ошибкой округления. Следует учитывать, что округление результатов вычислений по любому неслучайному правилу приводит к ошибкам с ненулевым смещением[83].