2. 2 Точка

Точка – основне невизначене поняття геометрії. Іншими якимось більш елементарними поняттями визначити її неможливо, оскільки розмірів вона не має, а тому і фігур, простіших за неї, немає. На кресленні ми зображаємо точку умовно – у вигляді якоїсь площини, перетину двох ліній або кружком.

Просторова модель координатних площин проекцій

Положення точки в просторі може бути визначеним, якщо вона буде належати до якої-небудь координатної системи. Найбільш придатною для цього є декартова система координат, яка складається з трьох взаємно перпендикулярних площин (рис. 2.5). Тут умовно позначені:

П₁ – горизонтальна площина проекцій;

П₂ – фронтальна площина проекцій;

П₃ – профільна площина проекцій;

Лінії перерізу площин проекцій утворюють осі координат:

x₁₂ – вісь абсцис, y₁₃ – вісь ординат, z₂₃ – вісь аплікат.

Точка О₁₂₃ перетину координатних осей приймається за початок координат.

Координатні площини ділять простір на вісім четвертей простір на вісім четвертей простору (октанів).

На основі властивості п. 7 паралельного проектування далі будемо розглядати тільки першу четверть (октант) простору, в якому всі координатні осі додатні.

Площинна модель координатних площин проекцій

Користуватись просторовим макетом (рис. 2.5) координатних площин проекцій геометричних фігур дуже незручно, оскільки він громіздкий. Крім того, на площинах П₁ і П₃ відбувається спотворення форми і розмірів зображуваної фігури. Тому в практиці користуються так званим е п ю р о м – плоским зображенням, яке складається з двох і більше пов’язаних між собою прямокутних проекцій геометричної фігури.

Рис. 2.5 Рис. 2.6 Рис. 2.7

Епюр одержують шляхом суміщення площин П₁ і П₃ з П₂.

Щоб сумістити площину П₁ з П₂, обертають її на 90^○ навколо осі x₁₂ в напрямку руху годинникової стрілки (рис. 2.5), а площину П₃ – навколо осі – навколо осі z₂₃ у напрямку, протилежному руху годинникової стрілки. Разом з площинами проекцій буде переміщуватися і вісь y₁₃. Після суміщення вісь y₁, яка належить П₁, співпаде з віссю -z₂₃, а y₃ – з x₁₂. Після такого перетворення просторовий макет координатних площин набуде вигляду згідно з рис. 2.6.

Враховуючи, що площини проекцій не мають меж, на епюрі їх не показують. Немає необхідності також позначати площини проекцій і від’ємний напрямок координатних осей. Остаточно епюр набуде вигляду, наведеного на рис. 2.7.

Проекція точки. Нехай точка А віднесена до взаємно перпендикулярних координатних площин проекцій (рис. 2.8). Положення такої точки визначається трьома координатами (x,y,z), тобто відстанями, на які вона віддалена від площин проекцій. Отже, щоб визначити ці відстані, необхідно через точку А провести перпендикулярно до проекцій прямі та знайти точки А₁, А₂ і А₃ перетину їх з площинами П₁, П₂ і П₃. Відрізки AA₁, (рис. 1.8) AA₂, і AA₃ є координатами z, y, x. Отже: AA₃ = O₁₂₃ Ax – абсциса точки А (координата x); AA₂ = O₁₂₃ Ay – ордината точки А (координата y);

AA₁ = O₁₂₃ Az – апліката точки А (координата z).

Точки А₁, А₂, А₃ називають прямокутними проекціями точки А:

А₁ – горизонтальна проекція;

А₂ – фронтальна проекція;

А₃ – профільна проекція.