- •«Рівняння з частинними похідними»
- •Перелік практичних занять
- •Завдання до теми
- •Завдання до теми
- •Завдання до теми
- •Завдання для перевірки знань:
- •Завдання до теми
- •Завдання до теми
- •Завдання до теми
- •Завдання для перевірки знань
- •Контрольні питання
- •Практичне заняття № 11
- •Короткі теоретичні відомості
- •Завдання до теми
- •Завдання до теми
- •Завдання для перевірки знань
- •Контрольні питання
- •Список літератури
- •39600, М. Кременчук, вул. Першотравнева, 20
Перелік практичних занять
Практичне заняття № 1
Тема Диференціальні рівняння в частинних похідних (ДРЧП) 1-го порядку. Загальний розв’язок
Мета: сформулювати уявлення про ДРЧП 1-го поряду, про лінійне і квазілінійне ДРЧП 1-го поряду, загальний розв’язок ДРЧП 1-го порядку. Навчитися знаходити загальний розв’язок ДРЧП 1-го порядку.
Короткі теоретичні відомості
Рівняння вигляду
, (1)
де – невідома функція, називається ДРЧП 1-го поряду.
Рівняння
, (2)
де a, b, c – неперервні функції в деякій області G і задовольняють у ній умову , називається напівлінійним.
Щоб розв’язати рівняння (2) необхідно скласти та розв’язати систему звичайних диференціальних рівнянь (ЗДР)
. (3)
Загальним розв’язком рівняння (2) є функція , де,– два лінійно незалежних інтеґрала системи (3).
Завдання до теми
Знайти загальний розв’язок рівняння
.
Розв’язування. Запишемо систему рівнянь . Скориставшись властивістю пропорції, представимо рівнянняу вигляді
.
Інтеґруючи, отримуємо
.
Друге рівняння системи .
Загальний розв’язок даного рівняння має вигляд:
.
Завдання для перевірки знань
Знайти загальний розв’язок рівняння:
. Відповідь: .
. Відповідь: .
. Відповідь: .
. Відповідь: .
. Відповідь: .
Контрольні питання
З якому випадку рівняння (1) називається квазілінійним?
Що таке пучки та вісі Монжа?
Які криві називають характеристичними?
Чи відрізняється загальний розв’язок ДРЧП 1-го порядку від загального розв’язку ЗДР?
Література: [1-5].
Практичне заняття № 2
Тема ДРЧП 1-го порядку. Задача Коші.
Мета: дати уявлення про задачу Коші для ДРЧП 1-го порядку, навчитися знаходити поверхню, яка задовольняє рівняння та проходить через лінію.
Короткі теоретичні відомості
Щоб знайти поверхню , яка задовольняє рівнянню
(1)
та проходить через лінію
(2)
спочатку необхідно знайти загальний розв’язок рівняння (1), тобто два лінійно незалежних інтеґрала
і . (3)
Потім у (3) необхідно підставити (2) та отримати систему рівнянь у вигляді
(4)
Систему (4) можна переписати так: =0. Підставивши в останнє рівняння замістьіліві частини виразів (3), ми отримуємо розв’язок задачі Коші.
Завдання до теми
Знайти інтеґральну поверхню, яка задовольняє рівняння
та проходить через криву .
Розв’язування. Запишемо систему рівнянь та знайдемо її перші інтеґрали: ,.
Щоб знайти інтеґральну поверхню, яка проходить через криву , запишемо цю криву у параметричному вигляді. Наприклад, візьмемояк параметр:. Підставляючи ці вирази у перші інтеґрали, отримуємо,. Виключаючи, отримуємо. Підставляючи замістьіліві частини перших інтеґралів, знайдемо розв'язок даної задачі:
.
Завдання для перевірки знань
Знайти розв’язок задачі Коші для ДРЧП 1-го порядку та зробити його перевірку.
, ,.
Відповідь: .
, ,.
Відповідь: .
, ,.
Відповідь: .
, ,.
Відповідь: .
Контрольні питання
Сформулюйте задачу Коші для ДРЧП 1-го порядку.
У якому випадку задача Коші має один і тільки один розв'язок?
У якому випадку задача Коші має нескінченну множину розв'язків?
Література: [1, 6].
Практичне заняття № 3
Тема Класифікація ДРЧП 2-го порядку та зведення до канонічного вигляду
Мета: засвоїти поняття про ДРЧП 2-го порядку, умови приналежності ДРЧП 2-го порядку до еліптичного, параболічного або гіперболічного типу. Виробити навички зведення ДРЧП 2-го порядку до канонічного вигляду.
Короткі теоретичні відомості
Диференціальним рівнянням у частинних похідних другого порядку з двома невідомими змінними називаються співвідношення між невідомою функцією u(x,y) та її частинними похідними до другого порядку включно, тобто
.
ДРЧП 2-го порядку називається лінійним, якщо воно має вигляд:
(1)
Уведемо нові змінні ,. Перетворюючи похідні до нових змінних, одержуємо:
(2)
(3)
Рівняння (3) називається характеристичним для рівняння (1), а його інтеґрали – характеристиками.
Рівняння (3) – квадратне відносно похідної, тоді:
(4)
називається дискримінантом рівняння (4).
Рівняння (1) називається рівнянням гіперболічного типу, якщо D>0; еліптичного, якщо D<0; параболічного, якщо D=0.
Рівняння таназиваються відповідно першою і другою канонічними формами гіперболічного рівняння.
Рівняння називається канонічною формою еліптичного рівняння.
Рівняння називається канонічною формою параболічного рівняння.