Завдання для перевірки знань

• Розв’язати рівняння (), яке задовольняє нульові початкові та крайові умови.

Відповідь:

.

• Розв’язати рівняння , яке задовольняє початкові умовиі крайові умови.

Відповідь: .

Контрольні питання

• Перевірити, що вигляду (4) є розв’язком задачі (1)–(3).

• Що називається задачею Штурма–Ліувілля?

Література: [1, 6].

Практичне заняття № 11

Тема Задача Діріхле для рівняння Лапласа у прямокутнику (метод Фур’є)

Мета: сформувати уявлення про постановку задачі Діріхле для рівняння Лапласа у прямокутнику, про функцію Гріна для задачі Діріхле; виробити навички знаходити розв’язок задачі Діріхле для рівняння Лапласа

Короткі теоретичні відомості

Розглянемо задачу Діріхле для рівняння Лапласа у прямокутнику

,, (1)

, , (2)

, . (3)

Задачу (1)–(3) розіб’ємо на дві задачі, кожна з яких має однорідні крайові умови по одній зі змінних. Нехай , деіє відповідно розв’язки таких задач у прямокутнику:

(4) (5)

Розв’язок задачі (4) методом Фур’є має вигляд

, (6)

де ,. (6')

Розв’язок задачі (5) методом Фур’є має вигляд

, (7)

де ,. (7')

Таким же чином можна розв’язувати крайову задачу для рівняння Лапласа у прямокутнику з іншими крайовими умовами.

Завдання до теми

Знайти розв’язок рівняння Лапласа у прямокутнику, якщо він на контурі приймає задані значення,(),

, ().

Розв’язування. Знайдемо коефіцієнти ,,,за формулами (6') і (7').

, так як .

.

(див.ПЗ №10 )

Таким чином, розв’язок даної задачі має вигляд

.

Завдання для перевірки знань

Розв’язати крайову задачу для рівняння Лапласа у прямокутнику ,, якщо:

• ==0,,. Відповідь:.

• ==0,,. Відповідь:.

Контрольні питання

• Запишіть рівняння Лапласа у двовимірному просторі, тривимірному

просторі.

• Який вигляд має крайова умова Діріхле?

• Який вигляд має крайова умова Неймана?

Література: [3-8].

Практичне заняття № 12

Тема Задачі Діріхле для рівняння Лапласа у крузі та кільці

Мета: сформувати поняття про задачу Діріхле для рівняння Лапласа у крузі та кільці;виробити навички розвязку задач Діріхле для рівняння Лапласа у крузі та кільці.

Короткі теоретичні відомості

• Розглянемо задачу Діріхле для рівняння Лапласа у крузі

, (1)

. (2)

Розв’язок рівняння (1) має вигляд

. (3)

Коефіцієнти і() знаходяться за крайовою умовою (2).

• Розглянемо задачу Діріхле для рівняння Лапласа у кільці

. (4)

Розв’язок рівняння (3) має вигляд

. (5)

Коефіцієнти ,,,,,() знаходяться за крайовими умовами, заданих на межахі.

Завдання до теми

Всередині кільця розв’язати крайову задачу

, ,.

Розв’язування. Згідно з формулою (5) розв’язок задачі має вигляд

.

З граничної умови маємо

, звідки ,,(),(). З граничної умовимаємо

, звідки ,,(),(). Написані рівності об’єднуємо таким чином:

()()

Розв’язуючи ці системи, отримуємо:

, ,,,,,

(),(), а тому шуканою функцією є

.

Завдання для перевірки знань

• Знайти гармонічну функцію всередині кільця , яка задовольняє крайовим умовам:,.

Відповідь: .

Контрольні питання

• Запишіть оператор Лапласа у полярних координатах.

• Запишіть розв’язок задачі (1)–(2) у вигляді інтеґрала Пуассона.

• Які функції називаються гармонічними?

Література: [6-8].

Практичне заняття № 13

Тема Контрольна робота № 2

Мета: контроль знань з тем: метод характеристик для рівнянь гіперболічного типу. Задача Коші; хвильове рівняння. Метод Д’Аламбера для хвильового рівняння; метод Фур’є (метод відокремлення змінних). Хвильове рівняння; метод Фур’є. Рівняння теплопровідності; метод Фур’є для неоднорідних рівнянь; задача Діріхле для рівняння Лапласа у прямокутнику (метод Фур’є); задачі Дирихле для рівняння Лапласа у крузі та кільці.

Завдання для перевірки знань

Знайти функцію , гармонічну у кільці, і таку, що,.

1. , ;

2. , ;

3. , ;

4. , ;

5. , ;

6. , ;

7. , ;

8. , ;

9. , ;

10) ,;

11) ,;

12) ,;

13) ,;

14) ,;

15) ,.

Література: [1-10].

Практичне заняття № 14

Тема Метод функцій Гріна для рівняння теплопровідності

Мета: засвоїти поняття першої і другої формули Гріна; виробити навички знаходити розв’язок задачі Коші для рівняння теплопровідності за допомогою функції Гріна.

Короткі теоретичні відомості

• Розв’язок задачі Коші для рівняння теплопровідності ,,, яке задовольняє початкової умовімає вигляд

, (1)

де - відома функція.

• Функція Гріна задачі ,,,має вигляд

. (2)

• Функція Гріна задачі ,,,має вигляд

. (3)

• Функція Гріна задачі ,,,,має вигляд

. (4)

• Функція Гріна задачі ,,,,має вигляд

. (5)

• Дайте визначення функції Гріна першої внутрішньої крайової задачі для оператора Лапласа у крузі.