Завдання до теми

Розв’язати задачу Коші для рівняння з початковими умовамиметодомхарактеристик.

Розв’язування. У даному випадку ,,.

Рівняння характеристик має вигляд: . Звідси отримуємоі. Загальний розв’язок має вигляд

. (1)

Визначимо ітак, щоб вони задовольняли початкові умови:

.

Отриманні іпідставимо в (1):

–розв’язок задачі Коші.

Завдання для перевірки знань

• Звести рівняння до канонічного вигляду та знайти загальний розв’язок рівняння методом характеристик: .

Відповідь: .

• Звести рівняння до канонічного вигляду та знайти загальний розв’язок рівняння методом характеристик: ().

Відповідь: .

• Знайти розв’язок рівняння , яке задовольняє початкові умови

Відповідь: .

Контрольні питання

• Які процеси описують рівняння гіперболічного типу?

• Які бувають граничні умови для рівнянь гіперболічного типу?

Література: [1, 6].

Практичне заняття № 7

Тема Хвильове рівняння. Метод Д’Аламбера для хвильового рівняння

Мета: виробити навички розв’язку хвильового рівняння методом Д’Аламбера.

Короткі теоретичні відомості

• Одномірним рівнянням коливання струни або одномірним хвильовим рівнянням називається рівняння вигляду

. (1)

• –формула Д’Аламбера. (2)

Завдання до теми

Знайти розв’язок задачі Коші для рівняння з початковими умовами

Розв’язування. Користуючись формулою (2), отримуємо:

.

Завдання для перевірки знань

• Знайти розв’язок задачі Коші для рівняння з початковими умовами. Відповідь:.

• Знайти форму струни, визначеної рівнянням у момент, якщо. Відповідь:– струна паралельна восі абсцис.

Контрольні питання

• Який вигляд має загальний розв’язок хвильового рівняння?

• Сформулюйте задачу Коші для хвильового рівняння.

Література: [1, 6].

Практичне заняття № 8

Тема Метод Фур’є (метод відокремлення змінних). Хвильове рівняння

Мета: Дати уявлення про крайові задачі для рівняння гіперболічного типу, про задачу Штурма – Ліувілля. Виробити навички розв’язку крайових задач для хвильового рівняння методом відокремлення змінних.

Короткі теоретичні відомості

Нехай потрібно знайти розв’язок хвильового рівняння

, (1)

де – швидкість поширення хвилі, яке задовольняє початкові

, (2)

та крайові умови

(3)

Шукаємо розв’язок задачі (1)-(3) у вигляді добутку двох функцій

.

Підставивши цей вираз до рівняння (1), отримаємо рівність

.

Розділивши його на добуток , ми відокремимо змінні:

.

Ця рівність можлива тільки в тому випадку, якщо обидві її частини окремо дорівнюють одній і тій самій сталій. Позначивши її через , приходимо до двох звичайних диференціальних рівнянь другого порядку:

, (4)

. (5)

Загальні розв’язки цих рівнянь мають вигляд

, (6)

, (7)

де – довільні сталі.

Сталі іможна знайти, користуючись крайовими умовами (3).

. (8)

Розв’яжемо задачу (4), (8), яка називається задачею Штурма-Ліувілля.

.

.

Таким чином, . (9)

Підставляючи знайдені значення в (7), отримуємо

. (10)

Помноживши (9) і (10), ми отримаємо сукупність функцій:

,

де ,.

Так як рівняння (1) лінійне та однорідне, то сума розв’язків також являється розв’язком, яке можна представити у вигляді ряда

.

При цьому розв’язок повинен задовольняти початковим умовам:

.

.