- •«Рівняння з частинними похідними»
- •Перелік практичних занять
- •Завдання до теми
- •Завдання до теми
- •Завдання до теми
- •Завдання для перевірки знань:
- •Завдання до теми
- •Завдання до теми
- •Завдання до теми
- •Завдання для перевірки знань
- •Контрольні питання
- •Практичне заняття № 11
- •Короткі теоретичні відомості
- •Завдання до теми
- •Завдання до теми
- •Завдання для перевірки знань
- •Контрольні питання
- •Список літератури
- •39600, М. Кременчук, вул. Першотравнева, 20
Завдання до теми
Нехай початкові відхилення струни, яка закріплена у точках та, дорівнюють нулю, а початкова швидкість виражається формулою
.
Визначити форму струни для будь-якого моменту часу .
Розв’язування. У цьому випадку , ав інтерваліізовні цього інтервалу. Звідси. Знайдемо:
.
Звідси .
Завдання для перевірки знань
Струна має у початковий момент форму параболи . Визначити зміщення точок струни от вісі абсцис, якщо початкові швидкості відсутні. Граничні умови мають вигляд:.
Контрольні питання
Які числа називаються власними числами задачі Штурма-Ліувілля?
Які знаки мають власні числа задачі Штурма-Ліувілля?
Які функції називаються власними функціями?
Література: [1, 6].
Практичне заняття № 9
Тема Метод Фур’є. Рівняння теплопровідності
Мета: поглиблення знань про постановки крайових та початкових задач для рівняння теплопровідності; виробити навички знаходити розв’язок крайових і початкових задач для рівняння теплопровідності.
Короткі теоретичні відомості
Одномірним рівнянням теплопровідності у випадку стержня, напрямленого по восі , називається рівняння вигляду
. (1)
Випадок необмеженого стержня.
, ,– рівняння теплопровідності, (2)
, – початкова умова, (3)
–розв’язок задачі (2)–(3).
Випадок стержня, обмеженого з одного боку.
–рівняння теплопровідності, (4)
–початкова умова, (5)
–крайова умова, (6)
–розв’язок задачі (4)–(6).
Випадок стержня, обмеженого з обох кінців та.
–рівняння теплопровідності, (7)
–початкова умова, (8)
–крайові умови, (9)
–крайові умови, ()
–
розв’язок задачі (7), (8), (9).
–
розв’язок задачі (7), (8), ().
Завдання до теми
Знайти розв’язок рівняння , яке задовольняє початкову умовута крайову умову.
Розв’язування. Ми маємо рівняння теплопровідності для напівобмеженого стержня. Розв’язок, який задовольняє вказані умови, має вигляд
.
Припустивши , перетворимо перший інтеґрал, користуючись інтеґралом імовірностей, тобто
.
Узявши , перетворимо другий інтеґрал
.
Таким чином, розв’язок даної задачі набуває вигляду .
Завдання для перевірки знань
Знайти розв’язок рівняння ,,, яке задовольняє початкові умовиі крайові умови.
Відповідь: .
Знайти розв’язок рівняння , якщо лівий кінецьнапівобмеженого стержня теплоізольований, початкове розподілення температури
. Відповідь: .
Контрольні питання
Запишіть нестаціонарне рівняння теплопровідності у загальному випадку
Література: [1, 6].
Практичне заняття № 10
Тема Метод Фур’є для неоднорідних рівнянь
Мета: систематизувати знання про постановки початково-крайових задач для рівняння теплопровідності; виробити навички знаходити розв’язок крайових задач для нестаціонарного рівняння теплопровідності.
Короткі теоретичні відомості
Неоднорідні рівняння гіперболічного типу. Неоднорідні рівняння параболічного типу.
, (1) , (1')
, (2) , (2')
. (3) . (3')
Розв’язок задачі (1)-(3) або (1')-(3') шукається у вигляді
, (4)
де– розв’язок задачі:
, (5) , (5')
(6) , (6')
. (7) . (7')
–розв’язок задачі:
, (8) , (8')
, (9) , (9')
. (10) . (10')
Завдання до теми
Знайти розв’язок задачі про вимушені коливання струни під дією зовнішніх сил
(), (11)
, (12)
. (13)
Розв’язування. Представимо розв’язок задачі (11)–(12) у вигляді
. (14)
Функція задовольняє рівняння (11) та крайові умови (13). Тоді отримаємо задачу для:
, (15)
. (16)
Загальним розв’язком рівняння (15) є функція . Довільні сталіізнайдемо з умов (16):
;
.
Таким чином, розв’язок задачі (15)–(16) має вигляд
. (17)
Підставимо функцію (17) у вираз (14) і отримуємо задачу для :
, (18)
(19)
. (20)
Задачу (18)-(19) розв’яжемо методом Фур’є. У нашому випадку , а. Звідси. Знайдемо:.
====
==.
Таким чином, розв’язок задачі (18)–(20) має вигляд
. (21)
Підставляючи знайдені функції (17) та (21) у вираз (14), отримуємо розв’язок даної задачі (11)–(13)
.