Розділ 3. Геометрія
Приклад 3.1. Знайти координати точки К, яка симетрична точці M(2; -1) відносно прямої
Точка К лежить на прямій , яка проходить через точку М і перпендикулярна прямій Рівняння прямоїмає вигляд
(покажіть це!).
Знаходимо координати точки N – точки перетину прямих l і
Використовуючи формулу координат середини відрізка, знаходимо координати точки
Відповідь:
Приклад 3.2.
Записати:
а) рівняння бісектриси AL трикутник ABC;
б) рівняння кола, вписаного в трикутник ABC,
якщо
Згідно властивості бісектриси AL трикутника ABC маємо:
CL : LB = AC : AB = 8 : 10 = 4 : 5.
Знаходимо координати точки .
Рівняння прямої l має вигляд:
Оскільки центр O кола, вписаного в трикутник ABC, являється точкою перетину бісектрис, то його координати задовольняють систему рівнянь
Отже, рівняння кола вписаного в трикутник ABC має вигляд:
Відповідь: а)
Приклад 3.3. Вектори утворюють кут і
Обчислити
Відповідь: 103
Приклад 3.4. Який кут (у градусах) утворюють одиничні вектори і взаємно перпендикулярні?
Відповідь:
Приклад 3.5. Опуклий чотирикутник поділяється на чотири трикутники; площі трьох з них відповідно дорівнюють 10,20 і 30 , та кожна з цих площ менше площі четвертого трикутника. Знайти заданого чотирикутника.
Нехай
За умовою маємо:
Враховуючи, що запишемо:
Перемноживши ці рівності матимемо:
Підставляючи значення
Тоді
Відповідь: 120
Приклад 3.6. В трикутнику ABC величина кута A вдвічі більше величини кута B, а довжина сторін, протилежних цим кутам, дорівнюють відповідно 12 і 8 см. Знайти довжину третьої сторони трикутника.
Нехай тоді
За теоремою косинусів
За теоремою синусів
Тоді
Відповідь: 10 см.
Приклад 3.7. У рівнобедрений трикутник вписано коло. Точки дотику поділяють кожну бічну сторону на відрізки довжиною m і n, рахуючи від вершини. До кола проведені три дотичні, паралельні кожній із сторін трикутника. Знайти довжини відрізків дотичних, обмежених сторонами трикутника.
Нехай
AD=AE=n і CD=CG=n, як дотичні до кола, які
входять з однієї точки. Отже,
(SE=SF як дотичні до кола, які виходять з однієї точки) або
або, оскільки
(RE=RP,ND=PN, як дотичні до кола, які входять з однієї точки), то
Відповідь:
Приклад 3.8. У трикутник зі сторонами 6,10 і 12 см вписано коло. До кола проведено дотичну так, що вона перетинає дві більші сторони трикутника. Знайти периметр трикутника який відтинається дотичною.
Нехай
BC=12 см, DE – дотична до кола.
Фігура ABED– описаний чотирикутник, отже,
Підставляючи значення у рівність (*), маємо
Відповідь: 16 см.
Приклад 3.9. У трикутнику ABC задано гострі кути і при основіAC. З вершини B проведені висота BD та бісектриса BE. Знайти площу трикутника BDE, якщо площа трикутника ABC дорівнює S.
За умовою звідки
З прямокутних трикутників BDA і BDC знайдемо
Додавши рівності (2) і (3):
AC=AD+CD=BDctg+BDctg=BD(ctg+ctg).(4)
Підставляючи значення AC з (4) в (1), отримуємо:
У трикутнику ABC маємо тоді у трикутнику ABE:
Далі, в прямокутному трикутнику BDE маємо:
Тоді площа трикутника BDE дорівнює:
Підставляючи значення з (5) у (6), отримаємо
Скориставшись формулою
знаходимо площу трикутника
Відповідь: .
Приклад 3.10.
Сторони паралелограма відповідно дорівнюють a і b , (a<b). Із середини більшої сторони паралельну сторону видно під кутом . Знайти площу паралелограма.
За умовою,
Позначимо
Тоді і в трикутниках BEC, BAE і CDE, за теоремою косинусів, маємо
Додамо почленно рівності (2) і(3). Отримаємо
А тепер значення з (4) підставимо в (1).
Отже,
Тоді площа паралелограма ABCD дорівнює
або, оскільки то
Підставляючи значення з (5) у (7), маємо:
Отже, тепер підставляючи значення з (8) у (6), знаходимо площу
Відповідь:
Приклад 3.11.
На відрізку AC задано точку B, причому AB=14 см, BC=28 см. На відрізках AB,BC і AC, як на діаметрах, побудовані півкола в одній півплощині щодо AC. Знайти радіус кола, яке дотикається всіх трьох півкіл.
Нехай OB=7 см, BP=14 см, AQ=21см, SF=x см – радіуси відповідних кіл. Точки дотику знаходяться на лініях, які з`єднають центри.
Отже,
Оскільки
За теоремою косинусів:
Тоді
Відповідь: 6 см.
Приклад 3.12. У трапецію, у якої менша основа дорівнює a, вписано коло.
Одна з бічних сторін трапеції поділяється точкою дотику на відрізки довжиною m і n, якщо рахувати від більшої основи. Визначити площу трапеції.
Нехай – радіус кола, вписаного в трапецію ABCD. З`єднаємо центр кола O з точками
Трикутники AOB і COD – прямокутні і
Проведемо Висота, проведена з вершини прямого кута, є середнім пропорційним між проекціями катетів на гіпотенузу.
Отже, в трикутнику AOB:
Тоді, висота трапеції
У трикутнику COD:
Порівнявши (1) і (2), отримаємо:
Площа трапеції ABCD дорівнює:
Відповідь:
Приклад 3.13. Навколо кола радіуса R=1 см описана рівнобічна трапеція, площа якої дорівнює 5 . Знайти площу чотирикутника, вершинами якого служать точки дотику кола та трапеції.
Нехай
Площа трапеції
В опуклий чотирикутник можна вписати коло, тоді і тільки тоді, коли суми протилежних сторін чотирикутника рівні. Отже,
З прямокутного трикутника ABP маємо:
Оскільки
Отже, площа чотирикутника дорівнює:
Підставляючи в останню рівність значення маємо:
Відповідь:
Приклад 3.14. Відстань від правильної чотирикутної піраміди до бічної грані і до бічного ребра відповідно дорівнюють a і b. Знайти двогранний кут при основі піраміди.
Нехай SABCD – задана піраміда, SO – висота піраміди.
де через а кут SCO через
З прямокутного трикутника OKM знайдемо:
З прямокутного трикутника CMO, за теоремою Піфагора:
Далі з прямокутних трикутників SOM і SOC знайдемо
Порівнюючи праві частини рівностей (1) і(2), отримуємо,
Тоді
З прямокутного трикутника OTC матимемо
Підставимо значення
Отже,
Відповідь:
Приклад 3.15. Сторони нижньої та верхньої основ правильної трикутної зрізаної піраміди відповідно дорівнюють a і b, (a>b). Бічна грань утворює з площиною основи кут, рівний . Знайти площу перерізу піраміди площиною, який проходить через середню лінію бічної грані і центр нижньої основи.
Нехай задана піраміда,
середня лінія бічної грані центр верхньої основи,O – центр нижньої основи,
Радіус кола, описаного навколо правильного трикутника ABC, дорівнює
З прямокутного трикутника COQ:
Отже,
Проведемо і з прямокутного трикутника
Далі, з трикутника OKD:
Отже:
Відповідь:
Приклад 3.16. У правильній трикутній піраміді бічна грань має задану площину та утворює з площиною основи кут . При якому значеннівідстань від центра основи піраміди до бічної грані буде найбільшою?
Нехай SABC–задана піраміда, ∠SDO=α, де SD ⫠ AC, BD ⫠ AC i AD = CD, OK⫠SD. Позначимо площу бічної грані SAC через S , тоді, згідно властивості ортогональності проекції плоского багатокутника, маємо:
(1)
З прямокутного трикутника ODC знайдемо:
Підставивши це значення у (1), отримаємо:
Отже, з прямокутного трикутника OKD:
Побудуємо функцію, найбільше значення якої потрібно знайти:
У даному випадку кут α – гострий, а, отже, α ϵ(0;).
Далі задача зводиться до пошуку найбільшого значення функції f(α) на проміжку (0;).
Відповідь: arctg.
Приклад 3.17. Відношення об’єму зрізаного конуса до об’єму вписаної в нього кулі дорівнює k. Знайти кут між твірною конуса і площиною його основи та допустимі значення k.
Розглянемо осьовий переріз заданих тіл. AA1B1B – рівнобічна трапеція, AA1 = B1B, O’ – центр вписаного кола, B1E – висота. Покладемо О’О1 = О’О = O’D = r, де О’D⫠B1B, ∠B1BO = α. Тоді O1B1+OB = B1D+BD = B1B. З прямокутного трикутника B1EB:
Далі з прямокутного трикутника B1O’B(B1O’B=90°) маємо
B1D*BD = O’D2 ⟺ O1B1*OB = r2.
Отже, O1B1+OB = .За умовою: =k;
Де має бути k > .
Відповідь: .
Приклад 3.18. У конус із заданим об’ємом вписана піраміда; в основі якої лежить рівнобедрений трикутник, у якого величина кута при вершині дорівнює α. При якому значенні α об’єм піраміди буде найбільшим?
Об’єм конуса дорівнює:
де OB – радіус основи конуса і описаного навколо трикутника ABC кола, SO – висота.
Згідно наслідку з теореми синусів, маємо
А за теоремою косинусів, у трикутнику ABC маємо
Враховуючи, що AB = BC, маємо
Побудуємо функцію, найбільше значення якої потрібно знайти:
У цьому випадку α ϵ (0;π). Отже, задача зводиться до відшукання найбільшого значення функції V(α) на проміжку (0;π).
Відповідь:
Приклад 3.19 Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює a, а двогранний кут при основі дорівнює α. Знайти відстань від центра сфери, вписаної в цю піраміду, до бічного ребра.
–задана піраміда, – апофеми, - висота піраміди, - точка дотику кулі до бічної грані . Точка – центр кола, вписаного в трикутниклежить на перетині бісектрис. Отже,- бісектриса кута, тобто
З прямокутного трикутника
А з прямокутного трикутника знайдемо:
Далі, з отримаємоа в прямокутному трикутникуза теоремою Піфагора, визначимо і оскільки то
Тоді з прямокутного трикутника
Оскільки прямокутні трикутники SKO і SO1D подібні (вони мають спільний кут DSO1), K основа перпендикуляра упущеного з О на SD, то
Відповідь:
Приклад 3.20 У правильну зрізану трикутну піраміду вписано дві кулі: одна дотикається всіх її граней, друга – всіх ребер. Знайти синус кута між бічним ребром і площиною основи.
Нехай ABCA1B1C1 – задана піраміда. Позначимо: AB=BC=AC=a, A1B1= B1C1= A1C1=a1, AA1= BB1= CC1=l, де D1D – апофема, BD⫠AC.
Куля, вписана в піраміду, дотикається її основ ABC і A1B1C1 у центрах О і О1 , а також апофеми D1D у точці Е.
Проведемо A1K ⫠AC I C1T||A1K. Тоді
З прямокутного трикутника А1КА, за теоремою Піфагора, знайдемо
Або, оскільки А1К = D1D, то
З трикутників А1В1С1 і АВС, знайдемо
Тоді, так як DE=OD i D1E=O1D1, то
Порівнюючи праві частини (1) і (2), отримуємо
Оскільки друга куля дотикається до всіх ребер піраміди, то грань AA1C1С перетинає її так, що в перерізі утворюється коло, вписане в трапецію AA1C1С. Для того, щоб в опуклий чотирикутник можна було вписати коло, необхідно і достатньо, щоб суми протилежних сторін, цього чотирикутника, були рівні. Отже,
A1C1+AC=A1A+C1C⇔a1+a=l+l, a1+a=2l. (4)
Розв’язуючи рівняння (3) і (4), знайдемо, що при
Далі, проведемо B1N⫠BN.
Тоді
З прямокутного трикутника В1 знайдемо:
Піднесемо обидві частини рівності до квадрату:
Тоді
Відповідь:
Приклад 3.21 Поверхня кулі, вписаної в правильну зрізану трикутну піраміду, відноситься до повної поверхні піраміди, як . Знайти кут між бічною гранню і площиною основи піраміди.
Позначимо А1В1=В1С1=А1С1=а1, АВ=ВС=АС=а, О2О1=О2О=R, де R – радіус кулі, а О1 і О – центр трикутників ABC і A1B1C1. Знайдемо точки О2 і D, О2 і D1, де О2 – центр кулі.
Розглянемо осьовий переріз DD1В1В заданих тіл:
O1D1+OD=D1K+DK= D1 D
і з прямокутного трикутника D1ED ()знайдемо
Далі, в прямокутному трикутнику ()знайдемо:
D1K*DK=O2K2(O2K⫠D1D);
O1D1*OD=R2.
За умовою ,
Тоді отримуємо:
Отже (1) матиме вигляд:
Відповідь: