- •Завдання для самостійної роботи.
- •Завдання з теми «Лінійна та векторна алгебри. Елементи аналітичної геометрії».
- •Завдання з теми «Диференціальне числення функції однієї змінної».
- •Завдання з теми «Невизначений та визначений інтеграли».
- •Завдання з теми «Диференціальні рівняння та системи».
- •Завдання з теми «Ряди».
- •Зразки виконання завдань.
- •Розв’язання завдань з теми «Лінійна та векторна алгебри. Елементи аналітичної геометрії».
- •Розв’язання завдань з теми «Диференціальне числення функції однієї змінної».
- •Розв’язання завдань з теми «Невизначений та визначений інтеграли».
- •Розв’язання завдань з теми «Диференціальні рівняння та системи».
- •Розв’язання завдань з теми «Ряди».
- •Література
Зразки виконання завдань.
Розв’язання завдань з теми «Лінійна та векторна алгебри. Елементи аналітичної геометрії».
Завдання 1.
Задано матриці і .
Обчислити матриці ,,,.
Записати матричне рівняння , де, у вигляді системи лінійних рівнянь.
Розв’язати систему:
а) матричним методом;
б) за формулами Крамера;
в) методом Гаусса.
Розв’язання. 1. Транспонуємо матрицю :
і знайдемо матриці ,,і:
;
;
;
2. Запишемо матричне рівняння :
і виконаємо множення матриць в лівій частині рівняння
З рівності матриць однакового розміру маємо систему лінійних рівнянь
Розв’яжемо отриману систему вказаними в умові методами:
а) матричним методом.
Розв’язком матричного рівняння є матриця, де- обернена матриця, яка обчислюється за формулою
.
Обчислимо визначник системи
Оскільки , то обернена матриця існує. Обчислимо її елементи- алгебраїчні доповнення елементів матриці.
, ,,
, ,,
, ,.
Запишемо обернену матрицю і знайдемо розв’язок системи:
,
.
Остаточно маємо . Звідки,,.
б) Розв’яжемо систему за формулами Крамера.
Оскільки головний визначник системи вже обчислено, то обчислимо допоміжні визначники:
;
;
;
За формулами Крамера отримаємо наступний розв’язок системи ():
; ;.
в) Розв’яжемо систему методом Гаусса.
Поміняємо місцями перше та друге рівняння:
Нове перше рівняння системи приймемо за перше ведуче рівняння системи. Виключимо з другого і третього рівнянь. Для цього помножимо перше рівняння наіі по черзі додамо до другого і третього рівнянь.
Отримаємо
Поділимо друге рівняння на і приймемо його за друге ведуче рівняння:
Виключимо з третього рівняння. Для цього помножимо друге рівняння на 19 і додамо до третього:
Прямий хід метода Гаусса закінчено. Обернений хід: з третього рівняння знаходимо , з другого -, з першого -:
Розв’язок системи: .
Відповідь. ,,.
Завдання 2.
Задано вектори .,,у деякому базисі. Показати, що вектори,,утворюють базис та знайти координати векторау цьому базисі.
Розв’язання. Вектори ,,утворюють базис у тривимірному просторі, якщо вони некомпланарні. Щоб перевірити це, знайдемо мішаний добуток цих векторів:
.
Оскільки , то вектори,,некомпланарні і утворюють базис, в якому векторматиме розклад
(2.1)
або
,
де ,,- координати векторав цьому базисі. Для їх обчислення складемо систему рівнянь:
Розв’яжемо систему за формулами Крамера: ,,.
,
,
,
.
Отже, ,,.
Підставимо ,,у формулу (2.1) і одержимо розкладання вектора:
.
Відповідь. Вектори ,,утворюють базис у тривимірному просторі. Векторв цьому базисі має розклад.
Завдання 3.
Задано координати вершин піраміди :,,. Знайти:
1) кут між ребром та гранню;
2) площу грані ; 3) об’єм піраміди;
4) рівняння висоти, яку проведено з вершини до грані.
Розв’язання. 1) Синус кута між ребром та граннюобчислимо за формулою
, (3.1)
де ,,- координати нормального вектора площини (грані), а,,- координати напрямного вектора прямої.
Складемо рівняння грані як рівняння площини, що проходить через три точки,,:
. (3.2)
Підставимо в рівняння (3.2) координати точок ,,:
або .
Розкладаючи визначник за елементами першого рядка, отримаємо:
,
,
,
,
.
З рівняння площини запишемо координати її нормального вектора
.
Складемо рівняння ребра як рівняння прямої, що проходить через точкиі:
.
Отримаємо
або .
З цього рівняння маємо координати напрямного вектора ребра :,,.
Підставляючи знайдені координати нормального і напрямного векторів у формулу (3.1), дістанемо
,
.
2) Площу грані знайдемо за формулою
,
де координати векторів ізнайдемо, віднімаючи від координат кінця координати початку:,.
,
,
.
3) Об’єм піраміди обчислимо за формулою
,
де ,. Таким чином,
,
.
4) Рівняння висоти, яку проведено з вершини до грані, отримаємо за формулою
,
де ,,- координати напрямного вектора висоти.
Оскільки висота піраміди, яку проведено з вершини , паралельна нормальному вектору площини, то координати останнього можна прийняти за координати напрямного вектора висоти, тобто,,. Тоді рівняння висоти матиме вигляд
або .
Відповідь. 1) ; 2);
3) ; 4).
Завдання 4.
Скласти рівняння лінії, для якої відстані кожної точки від точки і від прямоївідносяться як.
Розв’язання. Нехай -довільна точка лінії, рівняння якої треба скласти. За умовою задачі , де,.
Отже, маємо рівняння
або .
Перетворимо його:
,
,
,
.
Для доданків з виділимо повний квадрат:
,
,
,
,
,
.
Отримали рівняння гіперболи з центром у точці і півосями,.
Відповідь. - рівняння гіперболи з центром у точціі півосями,.