- •Завдання для самостійної роботи.
- •Завдання з теми «Лінійна та векторна алгебри. Елементи аналітичної геометрії».
- •Завдання з теми «Диференціальне числення функції однієї змінної».
- •Завдання з теми «Невизначений та визначений інтеграли».
- •Завдання з теми «Диференціальні рівняння та системи».
- •Завдання з теми «Ряди».
- •Зразки виконання завдань.
- •Розв’язання завдань з теми «Лінійна та векторна алгебри. Елементи аналітичної геометрії».
- •Розв’язання завдань з теми «Диференціальне числення функції однієї змінної».
- •Розв’язання завдань з теми «Невизначений та визначений інтеграли».
- •Розв’язання завдань з теми «Диференціальні рівняння та системи».
- •Розв’язання завдань з теми «Ряди».
- •Література
Розв’язання завдань з теми «Ряди».
Завдання 1.
Довести розбіжність ряду .
Розв’язання. Перевіримо необхідну умову збіжності ряду, тобто обчислимо
. Необхідна умова збіжності () не виконується, тобто ряд розбігається.
Завдання 2.
Перевірити, чи збігаються або розбігаються ряди.
а1) .
Розв’язання. Порівняємо даний ряд з рядом , який розбігається. Для цього обчислимо
.
Оскільки , то заданий ряд також розбігається згідно граничної ознаки порівняння рядів.
Відповідь. Ряд розбігається.
Зауваження. Якщо загальний член ряду є дробово-раціональною функцією відносно, то загальний член ряду для порівняння зручно брати у вигляді, де- різниця між степенями многочленів знаменника і чисельника у.
а2) .
Розв’язання. Порівняємо цей ряд з рядом , який є геометричною прогресією із знаменникомі збігається.
.
Оскільки границя скінченна, то заданий ряд, як і допоміжний, збігається.
Відповідь. Ряд збігається.
б) .
Розв’язання. Для перевірки збіжності або розбіжності цього ряду застосуємо ознаку Даламбера. За умовою маємо , тоді. Обчислимо границю відношення:
.
За ознакою Даламбера ряд розбігається.
Відповідь. Ряд розбігається.
в) .
Розв’язання. В цьому випадку зручно скористатися радикальною ознакою Коші:
.
Отже, заданий ряд збігається.
Відповідь. Ряд збігається.
г) .
Розв’язання. Оскільки є значенням функціїприі ця функція неперервна і монотонно спадає в проміжку, то обчислимо невласний інтеграл
.
Невласний інтеграл збігається, отже, за інтегральною ознакою Коші збігається і заданий ряд.
Відповідь. Ряд збігається.
Завдання 3.
Визначити радіус та інтервал збіжності степеневого ряду.
а) .
Розв’язання. Знайдемо радіус збіжності за формулою Даламбера . За умовою,
.
Оскільки , то ряд збігається на всій числовій осі.
Відповідь. ,.
б) .
Розв’язання. За ознакою Даламбера ряд збігається, якщо . За умовою,. Обчислимо
.
Заданий ряд збігається, якщо або. Отже, інтервал збіжності,.
Відповідь. ,.
Завдання 4.
Розкласти у степеневий ряд функцію і визначити його область збіжності.
Розв’язання. Перетворимо задану функцію:
.
Застосуємо формулу: ,.
Зробимо в цій формулі заміну , отримаємо:
, .
Тоді
, .
Відповідь. , область збіжності ряду.
Завдання 5.
а) Функцію , що задана на проміжку, розкласти в ряд Фур’є за синусами.
Розв’язання. Довизначимо задану функцію на проміжку непарним способом. Тоді її ряд Фур’є буде містити тільки синуси, тобто
,
де
.
За умовою ,. Тоді
,
Таким чином,
.
Відповідь. .
б) Функцію , що задана на проміжку, розкласти в ряд Фур’є за косинусами.
Розв’язання. Довизначимо задану функцію на проміжку парним способом. Ряд Фур’є при цьому містить тільки вільний член і косинуси, тобто
,
де
, .
За умовою ,. Тому
.
,
Таким чином,
.
Відповідь. .
Література
Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Ч.1. – М.: Рольф, 2000.
Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Ч.2. – М.: Рольф, 2000.
Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика. – К.: Видавництво А.С.К., 2003.
Беклемешев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М. Наука, 1984.
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1. – М.: Высшая школа, 1986.
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2. – М.: Высшая школа, 1986.
Герасимчук В.С., Васильченко Г.С., Кравцов В.И. Курс классической математики в примерах и задачах. Ч.1. – Донецк, 2004.
Герасимчук В.С., Васильченко Г.С., Кравцов В.И. Курс классической математики в примерах и задачах. Ч.2. – Донецк, 2004.
Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. – М.: Наука, 1969.
Ковалішина І.В. Елементи лінійної алгебри та аналітичної геометрії. – Харків, ХарДАЗТ, 2000.
Ковалішина І.В. Диференціальне числення функцій однієї і кількох змінних. – Харків, ХарДАЗТ, 2001.
Горбатенко Ж.К. Функції, їх дослідження та побудова графіків. – Донецьк, ДонІЗТ, 2001.
Горбатенко Ж.К. Невизначений та визначений інтеграли. – Донецьк, ДонІЗТ, 2000.
Горбатенко Ж.К. Диференціальні рівняння. – Донецьк, ДонІЗТ, 2002.