- •Завдання для самостійної роботи.
- •Завдання з теми «Лінійна та векторна алгебри. Елементи аналітичної геометрії».
- •Завдання з теми «Диференціальне числення функції однієї змінної».
- •Завдання з теми «Невизначений та визначений інтеграли».
- •Завдання з теми «Диференціальні рівняння та системи».
- •Завдання з теми «Ряди».
- •Зразки виконання завдань.
- •Розв’язання завдань з теми «Лінійна та векторна алгебри. Елементи аналітичної геометрії».
- •Розв’язання завдань з теми «Диференціальне числення функції однієї змінної».
- •Розв’язання завдань з теми «Невизначений та визначений інтеграли».
- •Розв’язання завдань з теми «Диференціальні рівняння та системи».
- •Розв’язання завдань з теми «Ряди».
- •Література
Розв’язання завдань з теми «Диференціальне числення функції однієї змінної».
Завдання 1.
Знайти границі функцій, не користуючись правилом Лопіталя.
а) .
Розв’язання. При чисельник і знаменник дробу прямують до нескінченності. Маємо невизначеність. Щоб розкрити її, поділимо чисельник і знаменник дробу на найвищу степінь, що зустрічається у членів дробу, тобто на:
.
Відповідь. 0.
б) .
Розв’язання. При чисельник і знаменник дробу прямують до нуля. Отже, маємо невизначеність. Для її розкриття позбавимось ірраціональності в чисельнику: помножимо чисельник і знаменник наі скористаємось формулою. Знаменник розкладемо на множники за формулою, деі- корені квадратного тричлена. Знайдемо їх:
; ;;
, .
Отже, . Таким чином,
.
Відповідь. .
в) .
Розв’язання. При обчисленні цієї границі маємо невизначеність . Розкриваючи її, розкладемо знаменник на множники за формулою:і перепишемо границю так:
.
До останньої границі був застосований наслідок з першої важливої границі.
Відповідь. .
г) .
Розв’язання. При вираз у дужках прямує до 1, а показник степеня до. Маємо невизначеність. Щоб розкрити її, перетворимо границю так:
.
Відповідь. .
Завдання 2.
Знайти похідні функцій.
а) .
Розв’язання. За правилом диференціювання складеної функції маємо
.
При цьому використовувались наступні формули диференціювання: ,,,,.
Відповідь. .
б) .
Розв’язання. Це рівняння задає функцію неявно. Щоб знайти похідну, продиференціюємо обидві його частини, пам’ятаючи, щоє функція змінної:
,
,
.
Отримане рівняння розв’яжемо відносно :
,
,
,
.
Відповідь. .
в) .
Розв’язання. Для обчислення похідної такої функції (так званої степенево-показникової) використаємо логарифмічне диференціювання: прологарифмуємо обидві частини рівності . Отримаємо
.
Тепер, продиференціювавши ліву і праву частини останньої рівності, враховуючи, що , знаходимо
,
,
.
Звідки або
.
Відповідь. .
г) ,
Розв’язання. Функція задана параметрично. Її похідна обчислюється за формулою .
Знайдемо та
. Отже,
.
Друга похідна функції, заданої параметрично, знаходиться за формулою . Диференціюємо отриману похідну за змінною:
.
За допомогою наведеної вище формули дістанемо
.
Відповідь. ;.
Завдання 3.
Визначити диференціал функції, якщо.
Розв’язання. Диференціал функції обчислюється за формулою.
.
.
Відповідь. .
Завдання 4.
Методами диференціального числення дослідити функцію і за результатами дослідження побудувати її графік.
Розв’язання. Задана функція дробово-раціональна. Отже, вона визначена при всіх , крім точокі. Дослідимо поведінку функції в їх околі. Для цього обчислимо односторонні границі приі при:
;
;
;
.
Знайдені границі говорять про те, що обидві точки є точками розриву другого роду і визначають вертикальні асимптоти, рівняння яких і.
На інтервалах ,,функція неперервна.
Знайдемо точки перетину графіка з осями координат:
а) з віссю : якщо, то;
б) з віссю : якщо, то.
Отже, графік функції перетинає координатні осі в точці , тобто проходить через початок координат.
Знайдемо інтервали знакосталості функції. Розв’яжемо нерівність ::
+
--
Таким чином, на інтервалахі;на інтервалахі. На інтервалахіграфік функції розташований вище осі, а на інтервалахінижче осі.
Функція непарна, оскільки
, тому її графік симетричний відносно початку координат. Подальше дослідження можна проводити для .
З’ясуємо поведінку функції при :
. Отже, горизонтальна асимптота відсутня.
Похилу асимптоту будемо шукати у вигляді :
,
Отже, - рівняння похилої асимптоти.
Дослідимо функцію на монотонність та екстремум:
.
З рівняння знайдемо критичні точки першого роду:
⇔⇒
Враховуючи непарність функції, встановимо знак першої похідної на інтервалах ,, .
0
3
Таким чином, функція зростає на інтервалах ,; спадає на інтервалі. В точці функція має максимум, рівний.
Знайдемо інтервали опуклості графіка функції і точки перегину:
.
Розв’язуючи рівняння , знайдемо критичні точки другого роду:
⇔⇒
Знак другої похідної встановимо на інтервалах ,.
Таким чином, на інтервалі графік функції вгнутий, а на інтервалі- опуклий.
Враховуючи непарну симетрію кривої, точка є точкою перегину. Точка- точка розриву і не може бути точкою перегину.
За результатами дослідження будуємо графік функції для . Частина графіка длявідображається за принципом непарної функції (поворотом навідносно початку координат).