23. Методи приблизного розв'язання нелінійних рівнянь.
Припустимо маємо рівняння у=f(x),де функція неперервна на відрізку [a;b]
F(a)*f(b)>0
Для знаходження кореня рівняння ділимо відрізок навпіл х0=а+b/2, якщо при цьому функція у цій точці дорівнює 0, то х0 є коренем рівняння, якщо f(х0)≠0, то обираємо той відрізок [a;x0],[ x0;b]на кінцях якого f(x) має протилежні знаки. Обрані відрізки знову ділемо павпіл до того моменту поки довжина відрізку, на кінцях якого f(x) має протилежні знаки, не буде менше заданої точності .
Алгоритм метода половинного ділення:
24. Чисельні методи рішення диференціальних рівнянь.
Для вирішення диференціальних рівнянь I порядку використовуються методи Ейлера та Рунге Кутта.Особливість методів- для рішення диференціальних рівнянь треба знайти рішення функції, яка обчислюється циклічно.
У методі Ейлера кожне наступне значення функції y= f (x,y) обчислюється по формулі
y=(і+1)+ yі+ f (xі;yі)h
і=0,1,2….n
Аналогічно в методі Рунге Кутта:
і=0,1,2….n
Блок-схема алгоритму Рунгі Кутта
1
2
3
і
= 1
5
x = x+h/2
U=y+
7
x = x+h/2
U=y+
12
U=y+h*
15
x = x+h/2
P=
(
+2
+2
+
)
y = y + P
18
19
20
+
-
21
25.Чисельні методи інтерполяції функції.
Постановка задачі.
Задача інтерполяції в загальному вигляді формулюється наступним чином. Нехай на відрізку [А,В] задані значення невідомої функції y=f(x) в n різних точках х1,х2,…,хn. Потрібно знайти багаточлен Р(х) ступеню n приблизно виражаючий функцію y=f(x).
Геометрична інтерпретація метода.
F(x1)=y1
F(x2)=y2
F(xn)=yn
Поліном Ln(x) не вище ступеню n приймає в інтерполяції ті ж самі значення, що і функція. Відповідно
Ln(x1)=y1
Ln(x2)=y2
Ln(xn)=yn
Розглянемо задачу з використанням інтерполяційної формули Лагранжа.
Fj
;
i≠j
Sj
Де xi і змінюється від 1 до N – точки інтерполяції, yi j змінюється від 1 до N – значення функції в точках інтерполяції.
N – кількість точок інтерполяції
z – значення аргументу при якому необхідно вичислити значення функції.
Алгоритмізація задачі.
Введемо переобозначення і представимо інтерполяційну формулу наступним чином
Визначемо додатково введені змінні
j=1…N
i=1…N i≠j
Fj+1=Fj•(z – xi) F0=1
Sj+1=Sj•(xj – xi) S0=1
Отримана інтерполяційна формула дозволяє вирахувати приблизні значення функції F(x) в точках відмінних від вузлів інтерполяції.
Блок – схема алгоритму
|
1 |
2
3
|
|
4
5
6
|
д |
а|
8 |
7
Hi
|
9 |
10
+
-
11
12
13
+
-
14
15
16
+
-
17